Algunas cosas extra
Para pensar en momentos de ocio
Todo lo que esté aquí no tiene que ser entregado, pero si alguien requiere de algún punto extra puede hacer y entregar estos ejercicios, no tienen que ser todos.
Yoneda-Grothendieck
En clase demostramos que el funtor de Yoneda \(\mathbf{y}\colon\mathbf{C}\to\mathbf{Con}^{\mathbf{C}^{op}}\) es fiel y pleno. Es posible interpretar este resultado diciendo que es posible representar a la categoría \(\mathbf{C}\) dentro de una categoría de pregavillas \(\mathbf{Con}^{\mathbf{C}^{op}}\). En este sentido podemos pensar que es una generalización de los resultados de representación de objetos, como el teorema de Cayley en grupos.
La pregunta es ¿podemos formalizar la idea anterior?
Por ejemplo, dado un grupo \(G\) podemos considerar la categoría inducida con un sólo objeto, \(\mathbf{G}\). (Una observación es que en esta categoría toda flecha es un isomorfismo.) Luego, ¿qué es la categoría de pregavillas \(\mathbf{Con}^{\mathbf{G}^{op}}\)? ¿Es posible interpretarla como simetrías? Después hay que interpretar qué es una transformación natural, de ser posible con algo que tenga que ver con simetrías de conjuntos. Finalmente, cómo usamos el lema de Yoneda y su corolario, que \(\mathbf{y}\colon\mathbf{G}\to\mathbf{Con}^{\mathbf{G}^{op}}\) es fiel y pleno, para deducir que es posible encajar a \(G\) en un grupo de simetrías.
Teorema de Beck
El teorema de Beck es una generalización categórica de las cosas que pasan en álgebra. En este ejercicio hay que mostrar que todo lo que hicimos para llegar a este resultado es algo concreto cuando lo ponemos en categorías específicas. Consideramos \(\mathbf{C}=\mathbf{Gru}\) y la adjunción del grupo libre y el funtor que olvida.
Con la adjunción libre-olvida en grupos podemos preguntarnos ¿cuál es la unidad y multiplicación de la mónada en este caso? Luego, podemos seguir avanzando en el camino al teorema de Beck y calcular quién es la categoría de \(T\)-álgebras y ver cómo es la nueva adjunción libre-olvida.
Cuando tengamos todo lo anterior podremos calcular específicamente el funtor de comparación \(K\colon\mathbf{Gru}\to\mathbf{Con}^T\) y ver si es una equivalencia o no.
Durante nuestra demostración del teorema de Beck propusimos una unidad y una counidad mediante la propiedad universal de coigualadores adecuados. Después vimos que las componentes de la unidad son flechas universales, mostrando así que hay una adjunción \(L\dashv K\). Recordemos que la biyección natural de la adjunción se define (usando la universalidad de la unidad) mediante: \[\begin{gather*} \varphi_{(A,h),B}\colon\mathbf{B}(L(A,h),B)\longrightarrow\mathbf{A}^T((A,h),(GB,G\varepsilon_B))\\ (L(A,h)\xrightarrow{f}B) \mapsto (L(A,h)\xrightarrow{\alpha_{(A,h)}}(GL(A,h),G\varepsilon_{L(A,h)})\xrightarrow{Gf}(GB,G\varepsilon_B)) \end{gather*}\]
Muestra qua las componentes de la counidad definidas mediante un igualador definen a la counidad de la adjunción, es decir, \(\varphi_{(GB,G\varepsilon_B),B}(\beta_B)=id_{GB}\).
Objetos potencia
En clase demostramos el teorema fundamental de la teoría de topos, es decir, que si \(\mathcal{E}\) es un topos y \(B\in\mathcal{E}\), entonces \(\mathcal{E}/B\) es un topos. La parte difícil de la demostración es la de objetos potencia. En la demostración vimos una construcción bastante compleja del objeto potencia \(P_B f\) para un objeto \(f\colon C\to B\) en \(\mathcal{E}/B\), en la que es fácil perder de vista qué es lo que hicimos.
Un ejercicio que puede iluminar el argumento de la demostración es hacer la misma construcción tomando \(\mathcal{E}=\mathbf{Con}\) y tratar de dar una descripción decente del conjunto \(P_B f\).
