Lema de Yoneda-Grothendieck

En toda esta sección estaremos usando una categoría pequeña \(\mathbf{C}\), es decir, tiene un conjunto de objetos y un conjunto de flechas. Esta hipótesis es sólo para que no haya problemas de tamaño. Como queremos que \(\mathbf{C}(A,B)\) este en una categoría de conjuntos, lo más fácil es pedir una restricción a \(\mathbf{C}\) para evitar problemas con ZFC.

Un pequeño preámbulo

Dado \(C\in\mathbf{C}\) podemos dar un funtor contravariante \(\mathbf{C}(-,C)\colon\mathbf{C}\to\mathbf{Con}\). La evaluación en objetos se puede deducir de la notación, a un objeto \(A\in\mathbf{C}\) se le asigna el conjunto de flechas \(\mathbf{C}(A,C)\). Si \(f\colon A\to B\) entonces podemos definir una función \[\begin{gather*} \mathbf{C}(f,C)\colon \mathbf{C}(B,C)\longrightarrow\mathbf{C}(A,C)\\ (B\xrightarrow{g}C)\mapsto (A\mapsto{f}B\mapsto{g}C) \end{gather*}\]

Estos funtores son objetos en una categoría de funtores \(\mathbf{Con}^{\mathbf{C}^{\text{op}}}\) que es llamada categoría de pregavillas. Cada funtor contravariante de \(\mathbf{C}\) a \(\mathbf{Con}\) será llamado pregavilla y una pregavilla es representable si es isomorfa a \(\mathbf{C}(-,C)\) para algún \(C\in\mathbf{C}\).

Lema

Si \(C\in\mathbf{C}\) y \(P\in\mathbf{Con}^{\mathbf{C}^{\text{op}}}\), entonces hay una biyección \[PC\cong \mathbf{Con}^{\mathbf{C}^{\text{op}}}(\mathbf{C}(-,C),P)\]

Una consecuencia

El lema de Yoneda-Grothendieck tiene muchas consecuencias muy útiles en teoría de topos; sin embargo, ahora sólo veremos una que no depende de ninguna clase de objetos, como topos.

Para enunciar la consecuencia que queremos necesitamos dar un funtor \(\mathbf{y}\colon\mathbf{C}\to\mathbf{Con}^{\mathbf{C}^{\text{op}}}\) definido como \(\mathbf{y}C=\mathbf{C}(-,C)\). No es difícil ver que este es un funtor covariante. Así, el resultado que nos interesa es

Corolario

El funtor de Yoneda es fiel y pleno.