Mónadas

Definición

Una mónada es una terna \((T,\eta,\mu)\) donde \(T\colon\mathbf{A}\to\mathbf{A}\) es un funtor, \(\eta\colon Id_{\mathbf{A}}\to GF\) y \(\mu\colon FG\to Id_{\mathbf{A}}\) son transformaciones naturales. \(\eta\) es la unidad y \(\mu\) es la multiplicación de la mónada. Estas transformaciones deben satisfacer la versión diagramática de que \(\mu\) es asociativa y \(\eta\) es neutro para \(\mu\).

El tema de mónadas es bastante extenso y profundo, además de tener aplicaciones en otras áreas, como computación. Sin embargo, aquí sólo veremos que toda adjunción induce una mónada y viceversa, toda mónada induce una adjunción.

Toda adjunción induce una mónada

Podemos dar un conjunto de ejemplos de mónadas y al mismo tiempo dar un resultado de utilidad para lo que queremos mostrando que como inducir na mónada mediante una adjunción.

Dada una adjunción \((F,G,\eta,\mu)\colon\mathbf{A}\to\mathbf{B}\), definimos una mónada sobre \(\mathbf{A}\) como sigue: el endofuntor es \(GF\), la unidad de la mónada es \(\eta\) y la multiplicación es \(G\varepsilon_F\). Es fácil ver que lo anterior define mónada.

Toda mónada induce una adjunción

Para definir una adjunción, dada una mónada \((T,\eta,\mu)\) es necesario definir una categoría y dos funtores.

Una \(T\)-álgebra es una pareja \((A,h)\), donde \(A\in\mathbf{A}\) y \(h\colon TA\to A\), que satisface la versión diagramática que dice \(h\) es una acción de la mónada \(T\) en el objeto \(A\). Si \((A,h)\) y \((A',h')\) son \(T\)-álgebras, entonces un morfismo de \(T\)-álgebras es una flecha \(a\colon A\to A'\) en \(\mathbf{A}\) tal que \(h\, Th=h\,\mu_A\).

Es fácil ver que la composición de morfismos de \(T\)-algebras es un morfismo de \(T\)-álgebras y que la identidad también es un morfismo de \(T\)-álgebras. Así, tenemos una categoría \(\mathbf{A}^T\) de \(T\)-algebras y morfismos entre ellas.

Por la definición de \(T\)-álgebra y morfismo, no es difícil ver que hay un funtor que se olvida de la estructura de \(T\)-álgebra, \(G^T\colon\mathbf{A}^T \to\mathbf{A}\), \[\begin{array}{ccc} (A,h) & & A\\ a\downarrow & \mapsto & \downarrow a\\ (A',h') & & A' \end{array}\]

Por otro lado, dado un objeto \(A\) es posible definir una \(T\)-álgebra libre generada por \(A\). No es difícil mostrar que \((TA,\mu_A)\) es una \(T\)-álgebra. Además, si \(a\colon A\to A'\) entonces \(Ta\) es un morfismo de \(T\)-álgebras. Así, tenemos un funtor libre \(F^T\colon\mathbf{A}\to\mathbf{A}^T\). \[\begin{array}{ccc} A & & (TA,\mu_A)\\ a\downarrow & \mapsto & \downarrow Ta\\ A & & (TA',\mu_{A'}) \end{array}\]

Los dos funtores de arriba definen una adjunción \(F^T\dashv G^T\).

El funtor de comparación

Si empezamos con una adjunción \((F,G,\eta,\mu)\colon\mathbf{A}\to\mathbf{B}\), luego hacemos la mónada inducida \((T,\eta,\mu)\) y después la adjunción generada por esta mónada \((F^T,G^T,\eta^T,\mu^T)\), entonces podemos preguntarnos si hay una relación entre la adjunción con la que empezamos y la con la que terminamos.

El funtor de comparación \(K\colon\mathbf{B}\to\mathbf{A}^T\) está definido mediante \[\begin{array}{ccc} B & & (GB,G\varepsilon_B)\\ b\downarrow & \mapsto & \downarrow Gb\\ B' & & (GB,G\varepsilon_{B'}) \end{array}\]

Este funtor de cierta forma mide que tan algebraica es la categoría \(\mathbf{B}\) sobre \(\mathbf{A}\), de tal forma que si resulta se runa equivalencia entonces diremos que \(\mathbf{B}\) es muy algebraica sobre \(\mathbf{A}\).

Se demuestra que este funtor satisface \(KF=F^T\) y \(G^T K=G\).