Límites

Límites

Las categorías que estaremos estudiado, topos elementales, deben tener un gran poder constructivo ya que podrán ser usadas como fundamentos locales de las matemáticas. Las construcciones categóricas se hacen por medio de propiedades universales y los límites serán objetos “de cierta forma” que satisfacen una propiedad universal. Así que nos será útil tener algunos resultados básicos acerca de estos objetos.

Conos

Si estudiamos el comportamiento de límites conocidos en algunas categorías, como el producto cartesiano y la imagen inversa en conjuntos o el kernel en módulos, entonces podemos notar que estas construcciones empiezan escogiendo objetos y flechas en alguna categoría y luego encontrando un objeto especial para lo que escogimos.

Para escoger objetos y flechas en una categoría \(\mathbf{C}\) podemos considerar un funtor que salga de una “categoría de índices”. Así, un funtor \(\Gamma\colon\mathbf{I}\to\mathbf{C}\) es llamado diagrama de forma \(\mathbf{I}\) en \(\mathbf{C}\).

Luego, dado un diagrama \(\Gamma\colon\mathbf{I}\to\mathbf{C}\) un cono es un objeto \(L\in\mathbf{C}\) junto con flechas \((L\xrightarrow{\pi_I}\Gamma I)_{I\in\mathbf{I}}\) tal que para cualquier flecha \(i\colon I\to J\) en \(\mathbf{I}\) se tiene que \(\Gamma i\pi_I =\pi_J\). El objeto \(L\) se llama vértice del cono.

Límites

Un diagrama puede tener muchos vértices así que no son suficientes para definir un objeto. Para lograr la unicidad (salvo isomorfismo) pediremos una propiedad universal: para cualquier otro cono \((A\xrightarrow{\alpha_I}\Gamma I)_{I\in\mathbf{I}}\) existe una única \(h\colon A\to L\) tal que \(\pi_I h=\alpha_I\). Cuando se satisface esta condición diremos que \(L\) (obviando las flechas hacia los \(\Gamma I\)) es un cono límite, o simplemente límite, para el diagrama.

Diremos que un funtor \(G\colon\mathbf{B}\to\mathbf{A}\) preserva límites si para cualquier diagrama \(\Gamma\colon\mathbf{I}\to\mathbf{B}\) y cono límite \((L\xrightarrow{\pi_I}\Gamma I)_{I\in\mathbf{I}}\) en \(\mathbf{B}\) se tiene que \((GL\xrightarrow{G\pi_I}G\Gamma I)_{I\in\mathbf{I}}\) es un límite en \(\mathbf{A}\) para el diagrama \(G\Gamma\colon\mathbf{I}\to\mathbf{A}\).

Si \(F\dashv G\), entonces \(G\) preserva límites