Teorema de Beck
En la sección de mónadas vimos, dada una adjunción, la existencia de un funtor de comparación \(K\colon\mathbf{B}\to\mathbf{A}^T\). Ahora daremos condiciones suficientes para que este funtor sea una equivalencia de categorías. Cuando esto suceda diremos que el funtor \(G\colon\mathbf{B}\to\mathbf{A}\) es monádico.
Teorema (Beck)
Sea \(G\colon\mathbf{B}\to\mathbf{A}\) un funtor con adjunto izquierdo \(F\colon\mathbf{A}\to\mathbf{B}\). Sean \((T,\eta,\mu)\) la mónada inducida y \(\mathbf{A}^T\) la categoría de \(T\)-álgebras.
- Si \(\mathbf{B}\) tiene coigualadores de pares reflexivos, entonces el funtor de comparación \(K\) tiene adjunto izquierdo \(L\).
- Supongamos qu,e además de lo anterior, \(G\) preserva coigualadores, entonces la unidad de la adjunción \(L\dashv K\) es un isomorfismo.
- Si además \(G\) refleja isomorfismos, entonces la counidad de \(L\dashv K\) es un isomorfismo.
Para lograr demostrar que \(L\) es adjunto izquierdo de \(K\) usamos coigualadores escindidos.
Luego mostramos que las componentes de la unidad son flechas universales.
Finalmente concluimos con la demostración de \(L\dashv K\) y el resto del teorema es fácil.
