Funtor gavilla asociada
En esta sección veremos que la inclusión \(\mathcal{E}_j\to\mathcal{E}\) tiene un adjunto izquierdo que preserva límites finitos. La demostración se hará en dos pasos, primero veremos que la inclusión \(Sep_j\mathcal{E}\to\mathcal{E}\) tiene adjunto izquierdo y luego veremos lo correspondiente con la inclusión \(\mathcal{E}_j\to Sep_j\mathcal{E}\).
Como los objetos separados tienen un papel central en esta sección, empezamos viendo algunas equivalencias de ser separado. Más específicamente, los siguientes enunciados son equivalentes:
- \(C\) es separado;
- la diagonal, \(\Delta_C\colon C\to C\times C\) es cerrada;
- \(j^C \{\,\}_C=\{\,\}_C\);
- Para cualquier flecha \(f\colon A\to C\), la gráfica de \(f\) es un subobjeto cerrado de \(A\times C\).
Ahora empezamos a construir un funtor \(\mathcal{E}\to Sep_j\mathcal{E}\). Para cada \(E\in\mathcal{E}\) consideramos la composición \(r^E \{\,\}_E\) y su factorización epi-mono. Si \(\theta_E\colon E\to E'\) es el epi de la factorización anterior, entonces podemos demostrar que \(E'\) es un objeto separado. Con esto podemos definir la asignación en objetos del funtor anterior, \(E\mapsto E'\). Para demostrar que \(E'\) es separado se observa que \(\Omega_{j}^{E}\) es una gavilla inyectiva y como tenemos un mono \(E'\rightarrowtail \Omega_{j}^{E}\) de la factorización epi-mono, entonces \(E'\) es separado, como queríamos.
Una propiedad más acerca de la construcción del epi \(\theta_E\colon E\to E'\) del párrafo anterior es que si \(E\) es separado, entonces \(\theta_E\) es iso. Así, concluimos que \(E\) es separado si y sólo si \(E\) se puede encajar en una gavilla inyectiva \(E\rightarrowtail I_E\).
Finalmente, veremos que el par núcleo del epi \(\theta_E\colon E\to E'\) es la cerradura de la diagonal.
Una vez que hemos demostrado lo anterior y recordamos que todo epi es el coigualador de su par núcleo, entonces obtenemos que \(\theta_E\) es el coigualador de la cerradure de la diagonal. Con este coigualador podemos demostrara que \(\theta_E\) es universal respecto a objetos separados, es decir, si \(S\) es separado y \(f\colon E\to S\) es una flecha arbitraria, entonces existe una única \(G\colon E'\to S\) tal que \(g\theta_E =f\).
Ahora que ya sabemos que \(\theta_E\) es universal respecto a objetos separados podemos definir un funtor \[(\,)'\colon \mathcal{E}\to Sep_j \mathcal{E}\]
de tal forma que \(\theta\colon id_{\mathcal{E}} \to i(\,)'\) (donde \(i\colon Sep_j\mathcal{E}\to \mathcal{E}\) es la inclusión) sea una transformación natural con componentes \(\theta_E\colon E\to E'\) definidas como arriba. Además, la universalidad respecto a objetos separados muestra que \(\theta\) es la unidad para la adjunción \(()'\dashv i\).
Para encontrar el adjunto izquierdo de la inclusión \(i\colon\mathcal{E}_j\to Sep_j\mathcal{E}\), notamos que, en nuestra construcción anterior, cuando \(E\) es separado se tiene que \(\theta_E\) es iso. Así, hay un mono del separado \(E\) a un gavilla inyectiva \(I_E\). Luego, sabemos que un subobjeto de una gavilla es gavilla si y sólo sí es cerrado. Por lo tanto, al separado \(E\) le asignamos la gavilla \(\overline{E}\rightarrowtail I_E\).
Si denotamos con \(\sigma_E\colon E\to I_E\) al mono que se obtiene con \(E\) separado e \(I_E\) gavilla inyectiva, entonces es posible demostrar que \(\sigma_E\) es universal respecto a gavillas. Como antes, esto implica que podemos dar un funtor \[\overline{(\,)}\colon Sep_j\mathcal{E}\to\mathcal{E}_j\]
de tal forma que \(\sigma\) es la unidad de la adjunción \(\overline{(\,)}\dashv i\).
Resumiendo, dado un objeto \(E\in\mathcal{E}\) podemos encontrar una gavilla inyectiva \(I_E\) y una flecha \(i_E\colon\to I_E\) con par núcleo mínimo, es decir, el par núcleo de la flecha es la cerradura de la diagonal, \(\overline{\Delta_E}\). Luego, hacemos la factorización epi-mono de la flecha \(i_E\) para obtener la imagen \(i_E(E)\). Finalmente, tomamos la cerradura de la imagen, \(\overline{i_E(E)}\) como subobjetos de \(I_E\). Esta cerradura es la gavilla asociada al objeto \(E\) y la denotaremos \(\mathtt{a}E\). La correspondencia de flechas se por medio de la universalidad de los dos pasos de la construcción. Con esto tenemos el funtor gavilla asociada \[\mathtt{a}\colon\mathcal{E}\to\mathcal{E}_j\]
Por la unicidad de los adjuntos, \(\mathtt{a}\) es adjunto izquierdo de la inclusión \(i\colon\mathcal{E}_j\to\mathcal{E}\). Por último veremos que \(\mathtt{a}\) preserva límites finitos.
Es fácil ver que \(\mathtt{a}\) preserva a \(1\), pues este último es una gavilla. Además, también preserva monos.
Para demostrar que \(\mathtt{a}\) preserva productos finitos necesitamos demostrar que \(\overline{A\times B}=\overline{A}\times\overline{B}\), para cualesquiera \(A,B\in Sub(E)\). Con esta propiedad construimos \(\mathtt{a}(E\times F)\) a partir de la gavilla inyectiva \(I_E\times I_F\).
La demostración de que \(\mathtt{a}\) preserva igualadores es un poco más compleja. La idea es tomar un igualador en \(\mathcal{E}\) de la forma \(E\rightarrowtail A\rightrightarrows B\) y hacer la construcción de la gavilla asociada a \(E\) como en la preservación de monos. Para demostrar que el resultado es el igualador de mandar a las flechas paralelas con el funtor \(\mathtt{a}\), es necesario considerar al igualador de dicho par de flechas y mostrar que es isomorfo a \(\mathtt{a}E\) construido como se menciona. Este isomorfismo se construye viendo que los objetos en cuestión se contienen mutuamente respecto a \(\mathtt{a}A\).
