Gavillas

En esta sección haremos veremos una nueva forma de pensar qué es una topología. En este sentido tenemos el concepto clásico con abiertos de un espacio. Luego, Grothendieck observa la importancia de las cubiertas y escribe una versión de topología enfatizando esta idea. En esta versión de Lawvere y Tierney se hacen dos cosas al mismo tiempo, una de ellas es cambiar la pregunta que hay que responder, de “¿qué cubiertas cubren a un objeto?” a “¿a qué objetos cubre una ‘cubierta’?”. Además de esto también se extiende un poco la lógica interna al dar este concepto de topología de tal forma que también resulta ser un operador modal.

Definición

Una flecha \(j\colon\Omega\to\Omega\) es una topología de Lawvere-Tierney si satisface \(jv=v\), \(jj=j\) y \(j(\land)=j\land j\).

Un ejemplo, que en el futuro será importante, de topología de Lawvere-Tierney es la doble negación \(\neg\neg\colon\Omega\to\Omega\).

Dado un objeto \(E\in\mathcal{E}\), el concepto de topología permite definir un morfismo \(\overline{(-)}\colon Sub(E)\to Sub(E)\) definiendo \(\overline{A}\) como el subobjeto de \(E\) cuya característica es \(j\varphi_A\), donde \(\varphi_A\) es la característica de \(A\in Sub(E)\).

En realidad el morfismo de arriba se puede definir con cualquier flecha \(j\colon\Omega\to\Omega\), pero si la flecha \(j\) es una topología de Lawvere-Tierney, entonces podremos demostrar \[A\subseteq\overline{A}\qquad \overline{\overline{A}}=\overline{A}\qquad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cap\overline{B}\]

Una operación en \(Sub(E)\) que satisfaga las tres igualdades de arriba se llamará operador de cerradura. Es importante notar que este operador difiere de la cerradura clásica en espacios topológicos donde se cumple \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}\) en lugar de nuestra tercera igualdad.

Con la cerradura podemos definir cuando un subobjeto \(A\in Sub(E)\) es cerrado de manera usual, es decir, si \(\overline{A}=A\) y cuando es denso, \(\overline{A}=E\). En el segundo caso también diremos que el mono \(m\colon A\to E\) es denso. Con esto damos el concepto de gavilla.

Definición

Un objeto \(F\in\mathcal{E}\) es una gavilla si para cualquier mono denso \(m\colon A\to E\) y toda flecha \(f\colon A\to F\) existe una única \(g\colon E\to F\) tal que \(gm=f\).

Otra forma de decir que un objeto \(F\) es una gavilla es mediante la función “componer con \(m\)”. Esto es, \(F\) es gavilla si y sólo si la función \[m^*\colon \mathcal{E}(E,F)\to\mathcal{E}(A,F)\]

es biyectiva para todo mono denso \(m\colon A\to E\).

Además de las gavillas otros objetos de interés son aquellos para los cuales la función de arriba es inyectiva. Cuando un objeto satisfaga esto diremos que es un objeto separado. Con estos dos tipos de objetos formamos dos subcategorías plenas del topos \(\mathcal{E}\), la de objetos gavilla, denotada \(Gav_j(\mathcal{E})\), y la de objetos separados, denotada \(Sep_j(\mathcal{E})\).

Las dos subcategorías \(Gav_j(\mathcal{E})\) y \(Sep_j(\mathcal{E})\) tienen buenas propiedades. Por ejemplo, ambas tienen límites finitos y son cerradas bajo exponenciales.

Para demostrar que son cerrados bajo exponenciales primero se demuestra que si \(m\colon A\to E\) es un mono denso, entonces \(id\times m\colon B\times A\to B\times E\) también es un mono denso.

Luego, el objetivo de esta sección es mostrar que \(Gav_j\mathcal{E}\) es un topos. Por lo anterior sólo falta demostrar que tiene clasificador de subobjetos. Consideramos \(\Omega_j\), el igualador de \(j,id\colon\Omega\to\Omega\). Con las propiedades de una topología de Lawvere-Tierney es posible mostrar que \(\Omega_j\) es la imagen de \(j\colon\Omega\to\Omega\). Además también tiene un punto una flecha \(v_j\colon 1\to\Omega_j\).

Veamos que \(v_j\colon 1\to\Omega_j\) es el clasificador de subobjetos en \(Gav_j\mathcal{E}\). Empezamos haciendo algunas observaciones sobre objetos cerrados y sus características. Luego hay que ver a qué clasifica \(\Omega_j\)

Luego demostramos que \(\Omega_j\in Gav_j\mathcal{E}\) y finalmente mostramos que dada una gavilla \(F\) y un subobjeto \(A\in Sub(F)\) se cumple que \(A\) es gavilla si y sólo si \(A\) es cerrado. Completando así la demostración de que \(\Omega_j\) es el clasificador de subobjetos en \(Gav_j\mathcal{E}\). Ahora que ya sabemos que las gavillas son un topos adoptamos una notación más cercana a la que tenemos para topos, \(\mathcal{E}_j=Gav_j\mathcal{E}\).