La categoría rebanada como un topos
El objetivo ahora es demostrar el siguiente resultado.
Teorema (fundamental de la teoría de topos)
Si \(\mathcal{E}\) es una topos y \(B\in\mathcal{E}\), entonces \(\mathcal{E}/B\) es un topos.
Mostrar que tiene límites finitos no es difícil. Por ejemplo, el objeto terminal de \(\mathcal{E}/B\) es la identidad \(B\to B\) (esta es la razón por la cual muchos autores denotan con \(1_B\) a la identidad). También es fácil ver que \(\mathcal{E}/B\) tiene productos, ya que estos son productos fibrados en \(\mathcal{E}\). Los igualadores en \(\mathcal{E}/B\) son igualadores en \(\mathcal{E}\). Por lo tanto, \(\mathcal{E}/B\) tiene límites finitos.
El clasificador de subobjetos en \(\mathcal{E}/B\) se debe construir a partir del clasificador de subobjetos del topos \(\mathcal{E}\). Así, si tomamos \(\Omega\in\mathcal{E}\) y queremos obtener un objeto con una flecha hacia \(B\), lo más fácil es considerar \(p_2\colon\Omega\times B\to B\). De hecho se demuestra que la proyección anterior es el clasificador de subobjetos en \(\mathcal{E}/B\).
Ahora sólo falta ver que \(\mathcal{E}/B\) tiene objetos potencia. Lo primero que haremos para demostrar este hecho es notar que el axioma de objetos potencia es equivalente a que haya una biyección \[\mathcal{E}(A\times C,\Omega)\cong\mathcal{E}(C,PA)\]
natural en \(A\) y \(C\). Así, para cada \(f\colon C\to B\) en \(\mathcal{E}/B\) encontraremos un objeto, que denotaremos \(P_B f\) tal que para cualquier \(g\colon D\to B\) haya una biyección \[\mathcal{E}/B(C\times_B D,\Omega\times B)\cong\mathcal{E}/B(D,P_B f)\]
natural en \(C\) y \(D\).
Empezamos analizando el lado izquierdo de la biyección que queremos, para esto primero daremos una forma conveniente de la característica de \(C\times_B D\) como subobjeto de \(C\times D\). Además, notamos que una flecha \(C\times_B D\to\Omega\times B\) en \(\mathcal{E}/B\) está en correspondencia con una flecha \(C\times_B D\to\Omega\) en \(\mathcal{E}\) y esta con un subobjeto de \(C\times_B D\), que a su vez es lo mismo que un subobjeto de \(C\times D\) contenido en \(C\times_B D\).
La siguiente biyección natural se sigue de notar que todo subobjeto tiene una flecha característica. De esta forma, si empezamos con un un subobjeto \(S\) de \(C\times D\) contenido en \(C\times_B D\) y recordamos que la característica de \(C\times_B D\) es \(\in_C(id\times w)\), entonces la característica de \(S\) satisface: \[\varphi_S\land \in_C(id,w)=\varphi_S\]
donde \(\land\) es la flecha \(\land\colon\Omega\times\Omega\to\Omega\).
La siguiente biyección natural es consecuencia de tomar \(P\)-transpuestas. Además, también hay que notar que si la característica de \(S\) satisface la ecuación de arriba, entonces su \(P\)-transpuesta satisface: \[\hat{\varphi}_S\land w=\hat{\varphi}_S\]
donde \(\land\) es la flecha \(\land\colon PC\times PC\to PC\).
La última biyección consiste en reescribir la ecuación anterior para obtener un par de flechas \(p_1,t\colon PC\times B\to PC\) de tal forma que si \(\hat{\varphi}_S\) satisface la ecuación de arriba, entonces \((\hat{\varphi}_S,g)\) iguala al par \((p_1,t)\).
Definimos el objeto potencia del objeto \(f\colon C\to B\) en \(\mathcal{E}/B\) como el igualador del par \((p_1,t)\) seguido de la proyección al segundo factor \[P_B f\xrightarrow{e}PC\times B\xrightarrow{p_2}B\]
Con lo anterior podemos concluir que si \(\hat{\varphi}_S\) satisface la ecuación de arriba, entonces hay una única flecha \(h:D\to P_B f\) tal que \(eh=(p_1,t)\) dada por la propiedad universal del igualador.
Así, podemos concluir que hay una biyección natural \[\mathcal{E}/B(C\times_B D,\Omega\times B)\cong\mathcal{E}/B(D,P_B f)\]
como queríamos.
Ahora, dada una flecha \(k\colon B\to A\) podemos definir un funtor, llamado cambio de base, \(k^*\colon\mathcal{E}/A\to\mathcal{E}/B\) que actúa por medio de producto fibrado a lo largo de \(k\). Lo primero que veremos del funtor cambio de base es:
Teorema
\(k^*\colon\mathcal{E}/A\to\mathcal{E}/B\) tiene adjuntos derecho e izquierdo.
La demostración del teorema se hace en dos pasos, primero se analiza la situación \(A=1\), de tal forma que \(k\) es la única flecha al terminal.
El siguiente paso es tomar \(k\colon B\to A\) arbitraria y notar que \(\mathcal{E}/B\cong(\mathcal{E}/A)/k\). Así, podemos aplicar el caso anterior para obtener el resultado del teorema.
Se puede demostrar aún más del funtor cambio de base. Este funtor es un morfismo lógico, es decir, preserva límites finitos, clasificador de subobjetos y exponenciales (todo salvo iso).
Teorema
\(k^*\colon\mathcal{E}/A\to\mathcal{E}/B\) es un morfismo lógico.
La preservación de límites se sigue de que tiene adjunto izquierdo y es fácil ver que preserva al clasificador de subobjetos. Así, la parte interesante de la demostración es que preserva exponenciales.
Usando los dos teoremas anteriores es posible demostrar algunas cosas similares a lo que pasa en la categoría de conjuntos. Por ejemplo que una flecha \(A\to 0\) es necesariamente un isomorfismo y que la única flecha \(0\to A\) es mono.
Algunas otras propiedades que podemos demostrar usando los dos teoremas principales de esta sección son: que si tomamos subobjetos ajenos de un objeto \(B\), entonces su coproducto es su supremo; que el producto finito de epis es epi.
Finalmente, demostramos que todo epi es un coigualador (algo que podemos pensar como “dual” al hecho que todo mono es un igualador).
