Construcción de colímites

Ahora usaremos al funtor potencia para mostrar que un topos elemental tiene todos los colímites finitos. Para lograr esto usaremos la versión del teorema de Beck que mostramos antes para mostrar que el funtor potencia es monádico. Gracias a Beck-Chevalley ya tenemos que potencia preserva coigualadores de pares reflexivos en \(\mathcal{E}^{op}\) (es decir, de pares correflexivos en \(\mathcal{E}\)).

Siguiendo con la demostración de que el funtor potencia es monádico, no es difícil mostrar que es adjunto izquierdo de \(P\colon\mathcal{E}^{op}\to\mathcal{E}\) es \(P^{op}\colon\mathcal{E}\to\mathcal{E}^{op}\). En este caso lo más fácil es mostrar que hay una biyección natural \[\mathcal{E}^{op}(P^{op}A,B) \cong \mathcal{E}(A,PB)\]

De la biyección podemos extraer las componentes de la unidad \(\eta_A\colon A\to PPA\), que en conjuntos es la función que a cada \(a\in A\) la manda a \(\{S\subseteq A\mid a\in S\}\), y las componentes de la counidad \(\varepsilon_B\colon PPB\to B\), que en este caso es simplemente \((\eta_B)^{op}\). Además las dos identidades triangulares se reducen a \[P\eta_A\, \eta_{PA}=id_{PA}\]

Como \(\mathcal{E}\) tiene todos los límites finitos, entonces \(\mathcal{E}^{op}\) tiene coigualadores de pares reflexivos. Así, sólo falta mostrar que \(P\) refleja isomorfismos. La demostración consta de varios pasos. Primero se muestra que el funtor \(P\) es fiel. Luego se demuestra que cualquier funtor fiel preserva monomorfismos y epimorfismos. También hay que notar que en un topos una flecha que es monomorfismo y epimorfismo es un isomorfismo. Finalmente, se “pegan” estos resultados para obtener lo que queremos.

Una vez que ya sabemos que \(P\colon\mathcal{E}^{op}\to\mathcal{E}\) es monádico, obtenemos una equivalencia \((L,K,\alpha,\beta)\colon\mathcal{E}^T\to\mathcal{E}^{op}\). Esta equivalencia nos da un camino para mostrar la existencia de colímites en el topos \(\mathcal{E}\). Para poder seguir dicho camino, se demuestra que el funtor que olvida \(G^T\colon\mathcal{E}^{T}\to\mathcal{E}\) crea límites y que si \(L\dashv K\) es una equivalencia, entonces \(L\) preserva límites.

Ahora ya podemos demostrar que un topos tiene colímites finitos. Si tomamos un diagrama \(\Gamma\colon\mathbf{I}\to\mathcal{E}\) con \(\mathbf{I}\) finita, entonces demostrar que \(\Gamma\) tiene colímite (en \(\mathcal{E}\)) es lo mismo que demostrar que \(\Gamma^{op}\) tiene límite (en \(\mathcal{E}^{op}\)). Este límite se obtiene del diagrama \(K\Gamma^{op}\colon\mathbf{I}^{op}\to\mathcal{E}^{T}\) y el hecho de que \(G^T\) crea límites.