Construcciones de exponenciales

En la definición de topos (elemental) ne se pidió que fuera una categoría cartesiana cerrada, ni siquiera que existan objetos exponencial. En el tercer axioma se pide la existencia de objetos potencia. Estos objetos son, como en conjuntos, lo mismo que exponenciar con base el clasificador de subobjetos. Se puede demostrar que esto es todo lo que se necesita para obtener una categoría cartesiana cerrada (por supuesto, no sólo se usará el tercer axioma en la demostración).

Podemos pensar que la construcción está hecha en dos partes. En la primera necesitamos construir un objeto \(C^B\) para cualesquiera \(B,C\in\mathcal{E}\). Esta construcción se basa fuertemente en lo que sucede en conjuntos, específicamente cuando un subconjunto \(S\subseteq C\times B\) es la gráfica de una función \(f\colon B\to C\).

En la segunda parte de la construcción de exponenciales se demuestra que un topos es una categoría cartesiana cerrada. Esto es, se muestra la existencia de la flecha evaluación \(ev_{B,C}\colon B\times C^B\) y se muestra que es una flecha universal de \(B\times -\) a C. Esta flecha evaluación se volverá la counidad de la adjunción \[(B\times -) \; \dashv\; ()^B\]

terminando la demostración de que un topos es una categoría cartesiana cerrada.

Una vez que ya hemos hecho todo la anterior tenemos aún más ya que \(C^B\) se puede interpretar como un \(hom\) interno, en el sentido que \(\mathcal{E}(B,C)\sim C^B\). Además, también es posible definir la composición como una operación interna, es decir, hay una flecha \(m\colon B^A\times C^B\to C^A\) que satisface: si \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\), entonces \(m(\hat{f},\hat{g})=\hat{gf}\).