Definición de topos
Definición
Una categoría \(\mathcal{E}\) es un topos elemental si satisface
- \(\mathcal{E}\) tiene límites finitos,
- \(\mathcal{E}\) tiene clasificador de subobjetos \(\Omega\),
- \(\mathcal{E}\) tiene objetos potencia.
Un clasificador de subobjetos es un objeto \(\Omega\) junto con una flecha \(v\colon 1\to\Omega\) tal que para cualquier mono \(m\colon S\to A\) existe una única flecha característica \(\varphi_m\colon A\to\Omega\) tal que el cuadrado conmutativo generado por \(v\,!_S=\varphi_m\,m\) es un producto fibrado.
Dado un objeto \(A\in\mathcal{E}\) el objeto potencia de \(A\) es un objeto \(PA\) junto con una flecha \(\in_A\colon A\times PA\to\Omega\) universal, es decir, para cada \(f\colon A\times B\to\Omega\) existe una única \(\hat{f}\colon B\to PA\) tal que \(\in_A(\text{id}\times\hat{f})=f\). La flecha \(\hat{f}\) será llamada la \(P\)-transpuesta de \(f\).
Regresando al clasificador de subobjetos, notamos que define una biyección \[\mathcal{E}(A,\Omega)\cong Sub_{\mathcal{E}}(A).\]
Esta biyección es muy importante para tener una forma de hablar de la colecciones de subobjetos sin hacer referencia a la teoría de conjuntos.
Ahora tomemos en cuenta a los objetos potencia y al clasificador de subobjetos, además del isomorfismo \(A\times 1\cong A\). Dado un subobjeto \(m\colon S\to A\), consideramos su flecha característica \(\varphi_m\colon A\to\Omega\) y con el iso anterior se tiene la composición \(A\times 1\to A\xrightarrow{\varphi_m}\Omega\). Así, hay una única \(\hat{\varphi}_m\colon 1\to\Omega\) que hace conmutar al diagrama de la definición de objetos potencia.
Con lo anterior tenemos tres formas de pensar un subobjeto de \(A\): como un mono \(m\colon S\to A\), como una flecha característica \(\varphi_m\colon A\to\Omega\) o como un elemento global \(\hat{\varphi}_m\colon 1\to PA\)
Se puede demostrar que si \(m\colon S\to A\) es mono entonces la única \(\varphi_m\colon A\to\Omega\) es de hecho una flecha característica. Para mostrar esto denotamos con \(v_X\) a la composición \(X\xrightarrow{!_X}1\xrightarrow{v}\Omega\) y notemos que \(\varphi_m\,x=v_X \iff \in_A(x,\hat{\varphi}_m)=v_X\).
Algunos predicados
Más adelante veremos que el clasificador de subobjetos creará una lógica interna para el topos. Hará eso de tal forma que una flecha \(A\to\Omega\) será una fórmula con una variable libre de tipo \(A\). Usaremos esta intuición y llamaremos predicados a las flechas que construiremos en esta sección.
Con la propiedad universal del producto es posible construir la flecha diagonal \(\Delta_A\colon A\to A\times A\). Esta es la flecha con la propiedad de que al componerla con cualquiera de las dos proyecciones se obtiene la identidad. Es fácil ver que la diagonal es un mono y así tiene una flecha característica \(\delta_A\colon A\times A\to Omega\). Este predicado, o fórmula con dos variables libres de tipo \(A\), satisface que si tomamos elementos generalizados \(x,y\colon X\to A\) entonces \[\delta_A(x,y)=v_X \iff x=y\]
Así, \(\delta_A\) es el predicado de igualdad en \(A\) o la delta de Kronecker.
Ahora, tomamos la \(P\)-transpuesta de \(\delta_A\) y obtenemos la flecha unitario \(\{\cdot\}\colon A\to PA\). La flecha unitario satisface, para cualesquiera \(x,y\colon X\to A\), \[\in_A(x,\{y\})=v_X \iff x=y\]
La equivalencia anterior muestra que nuestra flecha unitario de verdad se comporta como un conjunto unitario. Además, como es de esperar, también es mono; por lo que tiene una flecha característica \(\sigma_A\colon PA\to\Omega\). Si \(x\colon X\to PA\), entonces \(\sigma_A\) satisface \[\sigma_A(x)=v_X \iff \exists X\xrightarrow{y}A(x=\{y\})\]
