Objetos inyectivos

Queremos mostrar que los coproductos (las sumas) se comportan de manera “adecuada”, es decir, son estables bajo producto fibrado y son ajenas. La estabilidad ya la tenemos pues el cambio de base \(k^*\) actúa mediante producto fibrado y tiene adjunto derecho. Por lo tanto, sólo falta demostrar que los coproductos son ajenos. Este es el proposito de esta sección.

Definición

Un objeto \(K\) en una categoría \(\mathbf{C}\) es inyectivo si para todo mono \(m\colon S\rightarrowtail B\) y toda flecha \(f\colon S\to K\) existe una (no necesariamente única) \(g\colon B\to K\) tal que \(gm=f\).

El resultado del cual se sigue el resto de lo que veremos en esta sección es que el clasificador de subobjetos es inyectivo.

Si notamos que un objeto \(K\) es inyectivo si y sólo si la función “componer con \(m\)” \[\begin{array}{ccc} \mathcal{E}(B,K) & \longrightarrow & \mathcal{E}(S,K)\\ B\xrightarrow{g}K & \mapsto & S\xrightarrow{m}B\xrightarrow{g}K \end{array}\]

es suprayectiva, entonces es fácil ver que \(PC\) es inyectivo para todo \(C\in\mathcal{E}\).

Luego, como ya sabemos que la flecha unitario \(\{\;\}\colon C\to PC\) es mono, entonces en un topos hay suficientes inyectivos.

Con lo anterior podemos demostrar que el coproducto fibrado de un mono a lo largo de una flecha arbitraria es un mono. Además, el coproducto fibrado formado como antes también es un producto fibrado.

Algunas consecuencias inmediatas de lo anterior son que las inclusiones al coproducto son monos y “las sumas son ajenas”, es decir, el producto fibrado de las inclusiones es el objeto inicial. Además, el coproducto de monos es mono (un ejercicio sería comparar esto con su dual: el producto arbitrario de epis es epi).

Finalmente, una observación que será de utilidad en la siguiente sección es que las retracciones de inyectivos son inyectivos.

El vídeo de esta parte está en la sección de gavillas.