Acerca del curso

Este seminario tiene la intención de servir como una continuación de los cursos de categorías que se impartieron durante el semestre 2023-1, así como del curso de lógica 3 y la parte categórica del curso de conjuntos 1 impartidos en el mismo semestre.

En este curso veremos la noción de topos elemental, como una generalización de la categoría de conjuntos abstractos, estudiaremos algunas de las construcciones y las propiedades básicas de estas categorías. Finalmente, revisaremos un poco de morfismos geométricos.

Temario

Primero haremos un repaso de categorías. Revisaremos los temas básicos y trataremos de demostrar el teorema de Beck

  1. Categorías, funtores y transformaciones naturales
  2. Adjunciones
  3. Límites
  4. Mónadas
  5. Teorema de Beck

Después de este repaso empezaremos con los temas del curso. Primero presentaremos nuestros objetos de estudio y algunas de sus propiedades. Este material será extraído del capítulo cuatro de Sheaves in Geometry and Logic de Mac Lane y Moerdijk.

  1. Definición de topos
  2. Construcción de exponenciales
  3. Imagen directa
  4. Construcción de colímites
  5. Factorización e imagen
  6. La rebanada como un topos
  7. Objetos retícula y álgebra de Heyting en un topos
  8. La condición de Beck-Chevalley
  9. Objetos inyectivos

Luego haremos algunas construcciones con topos. El contenido de esta parte está en los capítulos cinco y seis de Sheaves in Geometry and Logic y dependerá de cómo vayamos de tiempo en el semestre.

  1. Topologías de Lawvere-Tierney
  2. Gavillas
  3. El funtor gavilla asociada
  4. Interno versus externo
  5. El lenguaje de Mitchel-Bénabou
  6. Semántica de Kripke-Joyal

Finalmente, sería ideal ver algo de morfismos geométricos, el capítulo siete de Sheaves in Geometry and Logic. De nuevo que tanto se pueda hacer de esta sección dependerá del tiempo.

Evaluación

La evaluación será por medio de tareas-examen, la cantidad de estas dependerá de que tan rápido avancemos y del tiempo del semestre.

Bibliografía

  • Mac Lane y Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic
  • Mac Lane, Categories for the Working Mathematician
  • Barr y Wells, Topos, Triples and Theories
  • Johnstone, Sketches of an Elephant
  • Borceux, Hanbook of Categorical Algebra, Vol. 3