Producto cartesiano
Definiciones
Para poder definir y trabajar con el producto cartesiano de conjuntos, necesitamos primero definir el concepto de par ordenado.
En este momento no daremos una definición formal de par ordenado, ya que nos obligaría a formar ciertos conjuntos que intuitivamente no es claro porque deben ser así. A final de cuentas lo único que nos importa, en este momento, acerca de pares ordenados es que dos pares \((a,b)\) y \((c,d)\) son iguales si y sólo si \(a=c\) y \(b=d\).
En cualquier definición de par ordenado se debe garantizar la condición de arriba para ver cuándo dos pares son iguales. Además, se usa dicha definición para garantizar que el producto cartesiano es un conjunto. Después de eso es posible olvidar la definición y trabajar con los objetos como si fueran primitivos.
Definición
Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), definimos el producto cartesiano de \(A\) y \(B\) como el conjunto
\[A\times B = \{(a,b)\mid a\in A, b\in B\}.\]
Una vez que ya tenemos definido el producto cartesiano para un par de conjuntos es posible extender la definición a más conjuntos. Por ejemplo, si tenemos tres conjuntos \(A\), \(B\) y \(C\), entonces definimos el producto cartesiano de los tres conjuntos como el conjunto
\[(A\times B) \times C,\]el cual consiste de todos los elementos de la forma $((a,b),c)$ con \(a\in A\), \(b\in B\) y \(c\in C\). En este caso podemos omitir los paréntesis y escribir \(A\times B\times C\), cuyos elementos serán ternas ordenadas \((a,b,c)\).
¿Cómo debería ser el criterio para decir que dos ternas son iguales? ¿Es posible obtener ese criterio a partir del de pares?
De la misma manera, podemos definir el producto cartesiano de \(n\) conjuntos como
\[A_1\times A_2\times \cdots \times A_n = \{(a_1,a_2,\ldots,a_n)\mid a_i\in A_i\text{ para }i=1,2,\ldots,n\}.\]Propiedades
Como aún no tenemos suficientes conceptos para decir cosas interesantes con el producto cartesiano, nos limitaremos a enunciar algunas propiedades que tienen que ver con las operaciones entre conjuntos que ya conocemos.
Es importante notar que en la definición de producto cartesiano aparecen dos proposiciones, \(a\in A\) y \(b\in B\), conectadas por una conjunción. Si recordamos que la conjunción es asociativa y conmutativa entonces no será difícil mostrar que se lleva bien con intersecciones, en el siguiente sentido:
Proposición
Sean \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) conjuntos. Entonces, se tiene que
\[(A\cap B)\times (C\cap D) = (A\times C)\cap (B\times D).\]Demostración
Mostraremos la igualdad por doble contención.
\[\begin{align*} (x,y)\in (A\cap B)\times (C\cap D) &\iff x\in A\cap B\land y\in C\cap D && \text{def de prod cart}\\ &\iff x\in A\land x\in B\land y\in C\land y\in D && \text{def de intersección}\\ &\iff (x\in A\land y\in C)\land (x\in B\land y\in D) && \land \text{ conmuta y asocia}\\ &\iff (x,y)\in A\times C\land (x,y)\in B\times D && \text{def de prod cart}\\ &\iff (x,y)\in (A\times C)\cap (B\times D) && \text{def de intersección}. \end{align*}\]
También es posible ver cuál es su relación con uniones, pero en este momento no verificaremos esa propiedad.
Una observación es que el producto cartesiano no es conmutativo