Composición de funciones y funciones inversas

Composición de funciones

En aplicaciones, se puede pensar que las funciones son procesos que se realizan a sistemas. En ese sentido, nos gustaría poder realizar un proceso al resultado de haber realizado otro proceso. Un ejemplo más cercano es que podríamos querer sumar \(1\) al resultado de haber elevado al cuadrado. Esto es, si ya tenemos funciones \(f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dadas por \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x+1\), entonces nos gustaría obtener una función \(h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \(h(x)=x^2+1\) a partir de \(f\) y \(g\). La forma de hacer esto es mediante la composición de funciones.

Definición

Dadas dos funciones \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\), la composición de \(f\) y \(g\) es la función \(g\circ f\colon A\to C\) definida por \((g\circ f)(a)=g(f(a))\).

No es difícil ver que \(h=g\circ f\), en el ejemplo anterior.

Es importante notar que para poder componer dos funciones es necesario que, en la notación de la definición, \(f(a)\) esté en el dominio de \(g\). Así, sólo podemos componer funciones si \(\operatorname{cod}(f)=\operatorname{dom}(g)\). (En realidad basta con que se de una contención en la igualdad anterior.) Como no podemos componer cualesquiera dos funciones, diremos que la composición es una operación parcial.

Ahora que tenemos esta operación parcial, similar a una multiplicación, podemos tratar de encontrar qué propiedades tiene.

Notemos que, en general, ni siquiera tiene sentido hablar de la conmutatividad. Si \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\) son funciones, entonces \(g\circ f\) sí tiene sentido pero \(f\circ g\) no, pues \(\operatorname{cod}(g)\neq\operatorname{dom}(f)\). Aunque fuera posible realizar las dos composiciones, como en el ejemplo con \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x+1\), no debemos esperar que las dos composiciones sean iguales. En ese ejemplo \(g\circ f(x)=x^2+1\) y \(f\circ g(x)=(x+1)^2\), que no son iguales.

Una propiedad que sí tiene es la asociatividad.

Proposición

La composición de funciones es asociativa, es decir, si \(f\colon A\to B\), \(g\colon B\to C\) y \(h\colon C\to D\) son funciones, entonces \((h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)\).

Demostración

Las dos composiciones tienen dominio \(A\) y codominio \(D\). Por lo tanto, es suficiente verificar que sus reglas de correspondencia son iguales. Sea \(a\in A\),

\[\begin{align*} (h\circ(g\circ f))(a) &= h((g\circ f)(a))\\ & = h(g(f(a))) \\ & = (h\circ g)(f(a))\\ & = (h\circ g)\circ f(a). \end{align*}\]

Otra propiedad que sí se cumple con funciones y composición es la existencia de neutros.

Definición

Dado un conjunto \(A\), siempre podemos hacer una función de \(A\) en \(A\), la función identidad \(\text{id}_A\colon A\to A\) definida por \(\text{id}_A(a)=a\).

Cuando no haga falta especificar el conjunto en el subíndice se omitirá.

No es difícil ver, usando la definición de función identidad, que si \(f\colon A\to B\) es una función, entonces \(f\circ\text{id}_A=f\) y \(\text{id}_B\circ f=f\).

Funciones inversas

Hasta el momento la composición de funciones es una operación parcial, asociativa con neutros. Lo siguiente será ver si hay algo como un “inverso multiplicativo” en el caso de funciones. Como la composición no es conmutativa habrá que especificar de qué lado se quiere el inverso.

Definición

Dada una función \(f\colon A\to B\), una inversa derecha de \(f\) es una función \(g\colon B\to A\) tal que \(f\circ g=\text{id}_B\). Análogamente, una inversa izquierda de \(f\) es una función \(h\colon B\to A\) tal que \(h\circ f=\text{id}_A\). Una inversa de \(f\) es una función que es inversa derecha e izquierda al mismo tiempo. En este caso diremos que es \(f\) invertible.

Además, cuando se tiene \(f\circ g=\text{id}\) diremos que \(g\) es una sección y \(f\) es una retracción. Por lo tanto, tener inversa derecha es lo mismo que tener una sección y tener inversa izquierda es lo mismo que tener una retracción.

En general, dada una función \(f\colon A\to B\), no siempre existe una inversa por algún lado. Además, si existe una inversa derecha (izquierda), no necesariamente es única. Así, las inversas son un problema más complicado que los inversos multiplicativos en los números. Sin embargo, podemos decir algo respecto a la existencia de inversas.

Fijemos una función \(f\colon A\to B\).

Proposición

Sean \(g,h\colon B\to A\). Si \(g\) es inversa derecha de \(f\) y \(h\) es inversa izquierda, entonces \(g=h\).

Demostración

Podemos hacer una cadena de igualdades, sin hacer referencia a elementos de conjuntos y evaluación de alguna función en algún elemento:

\[\begin{align*} g & = \text{id}_A\circ g\\ & = (h\circ f)\circ g\\ & = h\circ(f\circ g)\\ & = h\circ \text{id}_B\\ & = h. \end{align*}\]

Notemos que la proposición implica que si \(f\) tiene una inversa, entonces es única.

Corolario

Si \(g\) y \(h\) son inversas de \(f\), entonces \(g=h\).

Demostración

Si \(g\) y \(h\) son inversas de \(f\), entonces \(g\) es inversa derecha y \(h\) es inversa izquierda. Por la proposición anterior, \(g=h\).

Ahora que sabemos que las inversas son únicas podemos dar notación a la inversa de \(f\). La notación será \(f^{-1}\).

No es difícil ver que \(\text{id}_A^{-1}=\text{id}_A\). Así, nos falta ver cómo se comporta la inversa de una composición y la inversa de la inversa.

Proposición

Si \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\) son funciones invertibles, entonces \(g\circ f\) es invertible y \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\).

Demostración

Usaremos el corolario anterior para mostrar la igualdad que queremos. Esto es, veremos que las dos funciones que nos interesan son inversas de \(g\circ f\).

La función \((g\circ f)^{-1}\) es claramente inversa de \(g\circ f\). Por lo que es suficiente ver que \(f^{-1}\circ g^{-1}\) es inversa de \(g\circ f\).

\[\begin{align*} (f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f) &= f^{-1}\circ(g^{-1}\circ g)\circ f\\ & = f^{-1}\circ\text{id}_B\circ f\\ & = f^{-1}\circ f\\ & = \text{id}_A. \end{align*}\]

Proposición

Si \(f\colon A\to B\) es invertible, entonces \(f^{-1}\) es invertible y \((f^{-1})^{-1}=f\).

Demostración

Es claro que \(f^{-1}\) es inversa de \(f\) y también es inversa de \((f^{-1})^{-1}\).

El concepto de función, junto con la composición, es uno de los más importantes en matemáticas. Hay muchas formas e interpretar qué son y para qué pueden servir. En más acerca de funciones se han escrito algunas cosas adicionales que se pueden hacer con funciones.