Funciones

Definición y operaciones básicas

En este momento tal vez ya tengamos una idea intuitiva de qué es una función, algo como una regla que a cada valor le asigna otro valor. Esta idea intuitiva podría ser suficiente para muchas de las cosas que queremos. Sin embargo, para mantener el rigor matemático, necesitamos una definición precisa de función. Describiremos la definición conjuntista de función, que es la más común y fácil de presentar.

Definición

Una función \(f\) de un conjunto \(A\) a un conjunto \(B\) es una relación \(f\subseteq A\times B\) tal que para todo \(a\in A\) existe un único \(b\in B\) tal que \((a,b)\in f\). En este caso, decimos que \(f(a)=b\).

La unicidad en la definición implica que si \((a,b), (a,c)\in f\) entonces \(b=c\). Además, todo elemento de \(A\) debe estar relacionado con algún elemento de \(B\).

Los nombres usuales en esta situación es que \(A\) es el dominio de \(f\) y \(B\) es el codominio. La notación es \(\operatorname{dom}(f)=A\), \(\operatorname{cod}(f)=B\) y \(f\colon A\to B\), también se suele escribir una función como \(A\xrightarrow{f}B\).

Para que dos funciones sean iguales es necesario que cada una de las partes que aparecen en la definición sean iguales. Esto es, la funciones \(f\) y \(g\) son iguales si \(\operatorname{dom}(f)=\operatorname{dom}(g)\), \(\operatorname{cod}(f)=\operatorname{cod}(g)\) y para todo \(x\in\operatorname{dom}(f)\) se tiene que \(f(x)=g(x)\). Desde la perspectiva conjuntista, lo que importa de una función es su dominio y su regla de correspondencia. Por lo tanto, si dos funciones tienen el mismo dominio y la misma regla de correspondencia, entonces son iguales. Por ejemplo, las funciones

\[\begin{align*} & f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} && g\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{R} \\ & f(x)=x+1 && g(x)=x+1 \end{align*}\]

son iguales, aunque tengan distintos codominios.

Imágenes directas e inversas

Dada una función \(f\colon A\to B\), podemos definir dos operaciones, la imagen directa y la imagen inversa. Para esto tomaremos un subconjunto \(S\subseteq A\) y un subconjunto \(T\subseteq B\).

Definición

• La imagen directa de \(S\) bajo \(f\) es el conjunto \(f(S)=\{y\in B\mid \exists x\in S,\;f(x)=y\}\).
• La imagen inversa de \(T\) bajo \(f\) es el conjunto \(f^{-1}(T)=\{x\in A\mid f(x)\in T\}\).
• La imagen de \(f\) es \(\text{im}(f)=f(A)\).

La imagen directa toma un subconjunto de \(A\) y nos regresa un subconjunto de \(B\). Así, podríamos escribirla como una función \(f_*\colon PA\to PB\). Análogamente, la imagen inversa se puede escribir como otra función \(f^*\colon PB\to PA\). De esta manera, lo que esta escrito en la definición anterior es la regla de correspondencia de estas funciones.

Por el momento sólo veremos propiedades básicas de estas operaciones, que tengan que ver con los conceptos que hayamos visto hasta ahora.

Proposición

Si \(f\colon A\to B\) es una función y \(S, S_1, S_2\subseteq A\), \(T, T_1, T_2\subseteq B\), entonces

1. \(S_1\subseteq S_2\Rightarrow f(S_1)\subseteq f(S_2)\).
2. \(f(S_1\cup S_2)=f(S_1)\cup f(S_2)\).
3. \(f(S_1\cap S_2)\subseteq f(S_1)\cap f(S_2)\).
4. \(T_1\subseteq T_2\Rightarrow f^{-1}(T_1)\subseteq f^{-1}(T_2)\).
5. \(f^{-1}(T_1\cup T_2)=f^{-1}(T_1)\cup f^{-1}(T_2)\).
6. \(f^{-1}(T_1\cap T_2)=f^{-1}(T_1)\cap f^{-1}(T_2)\).
7. \(f^{-1}(B)=A\).
8. \(f^{-1}(B\setminus T)=A\setminus f^{-1}(T)\).
9. \(f(f^{-1}(T))\subseteq T\).
10. \(S \subseteq f^{-1}(f(S))\).

Sólo veremos algunas de estas propiedades.

Para demostrar el primer punto de la proposición, supongamos que \(S_1\subseteq S_2\) y tomemos \(y\in f(S_1)\). Entonces, existe \(x\in S_1\) tal que \(f(x)=y\). Pero como \(S_1\subseteq S_2\), entonces \(x\in S_2\), por lo que \(y\in f(S_2)\).

El punto 3 se demuestra tomando \(y\in f(S_1\cap S_2)\), entonces existe \(x\in S_1\cap S_2\) tal que \(f(x)=y\). Pero como \(x\in S_1\cap S_2\), entonces \(x\in S_1\) y \(x\in S_2\) (ademas de que \(f(x)=y\)), por lo que \(y\in f(S_1)\) y \(y\in f(S_2)\), es decir, \(y\in f(S_1)\cap f(S_2)\).

Para el punto 8, sea \(x\in f^{-1}(B\setminus T)\), entonces \(f(x)\in B\setminus T\), lo que significa que \(f(x)\notin T\) y, por definición de imagen inversa, \(x\in A\). De nuevo, usando la definición de imagen inversa y el hecho de que \(f(x)\notin T\), se tiene que \(x\notin f^{-1}(T)\), es decir, \(x\in A\setminus f^{-1}(T)\).

Por último, el punto 9 se demuestra tomando \(y\in f(f^{-1}(T))\), entonces existe \(x\in f^{-1}(T)\) tal que \(f(x)=y\). Pero como \(x\in f^{-1}(T)\), entonces \(f(x)\in T\), por lo que \(y\in T\).

Ahora, si tenemos funciones \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\) y tomamos subconjuntos \(S\subseteq A\) y \(U\subseteq C\), entonces la imagen directa y la imagen inversa se calculan:

\[(g\circ f)(S)=g(f(S)) \qquad (g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}(g^{-1}(U)).\]

Operaciones a funciones

Restricción

Dada una función \(f\colon A\to B\) y un subconjunto \(S\subseteq A\), podemos olvidar que \(f\) se puede evaluar en todos los elementos de \(A\) y sólo evaluarla en los de \(S\). Esto se llama la restricción de \(f\) a \(S\).

Definición

La restricción de \(f\) a \(S\) es la función \(f\vert_S\colon S\to B\) dada por \(f\vert_S(x)=f(x)\) para todo \(x\in S\).

Uniones

Una operación que nos será útil es la unión de funciones. Esta operación se puede hacer con una familia arbitraria de funciones, pero por el momento sólo la definiremos para dos funciones.

Dadas funciones (y conjuntos) \(f\colon A\to C\) y \(g\colon B\to C\), queremos definir una función que “pegue” a las anteriores, \(h\colon A\cup B\to C\). La definición de \(h\) debería ser por casos:

\[\begin{equation} \label{eq:union} h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x\in A, \\ g(x) & \text{si } x\in B. \end{cases} \end{equation}\]

Con esta definición es posible que \(h\) no sea una función. Como los conjuntos \(A\) y \(B\) son arbitrarios, es posible que exista \(x\in A\cap B\) tal que \(f(x)\neq g(x)\). En este caso \(h\) mandaría a \(x\) a dos valores distintos.

Si \(A\cap B=\emptyset\), entonces la definición anterior sí nos da una función. Pero nos gustaría tener una definición que funcione para cualquier par de conjuntos. Para esto, tendremos que poner alguna condición adicional.

Definición

Dadas funciones \(f\colon A\to C\) y \(g\colon B\to C\) tales que para cualquier \(x\in A\cap B\) se tiene que \(f(x)=g(x)\), definimos la unión de \(f\) y \(g\) como la función \(h\colon A\cup B\to C\) definida como en \(\eqref{eq:union}\).