Familias de conjuntos

Introducción

Para dar l definición formal de una familia de conjuntos es necesario el concepto de función. Como, en principio, no hemos definido funciones, daremos una idea intuitiva de lo que es una familia de conjuntos y veremos algunas construcciones útiles con estas familias.

Por el momento la siguiente será nuestra “definición oficial”.

Definición

Sea \(I\) un conjunto. Una familia de conjuntos indexada por \(I\) es una colección de conjuntos \(\{A_i\mid i\in I\}\).

En la definición, \(I\) es el conjunto de índices de la familia. Además, aunque no pedimos ninguna condición sobre \(I\), casi siempre estaremos pensando en un conjunto no vacío.

Unión e intersección de familias de conjuntos

Definición

Dada una familia de conjuntos \(\{A_i\mid i\in I\}\), definimos la unión de la familia como el conjunto

\[\bigcup_{i\in I} A_i = \{x\mid \exists i\in I (x\in A_i)\}.\]

Análogamente, definimos la intersección de la familia como el conjunto

\[\bigcap_{i\in I} A_i = \{x\mid \forall i\in I (x\in A_i)\}.\]

Si recordamos la relación entre operaciones de conjuntos y proposiciones lógicas que vimos en la sección de operaciones con conjuntos, podemos intentar hacer algo similar con las familias de conjuntos. En este caso, las propiedades de la unión de una familia de conjuntos serán las equivalencias e implicaciones lógicas con cuantificadores existenciales. Por otro lado, las propiedades de la intersección de una familia de conjuntos estarán relacionadas con cuantificadores universales.

Recordando que es posible considerar \(I=\emptyset\), entonces ¿qué son \(\bigcup_{i\in I}A_i\) y \(\bigcap_{i\in I}A_i\) en el caso \(I=\emptyset\)?

Propiedades de operaciones con familias de conjuntos

Para demostrar propiedades de unión e intersección de una familia de conjuntos necesitamos saber, con precisión, qué significa que un elemento esté en la unión o en la intersección. Si observamos las definiciones, podemos ver que \(x\in\bigcup_{i\in I} A_i\) si y sólo si \(\exists i\in I (x\in A_i)\), lo que es equivalente a decir “\(x\) está en la unión si y sólo si está en algún uniendo”. De manera similar, \(x\in \bigcap_{i\in I} A_i\) si y sólo si \(\forall i\in I (x\in A_i)\), lo que es equivalente a decir “\(x\) está en la intersección si y sólo si está en todos los conjuntos de la familia”.

Con esto en mente, podemos demostrar la siguiente propiedad.

Proposición

Sean \(\{A_i\mid i\in I\}\) y \(B\) conjuntos. Se satisfacen las leyes distributivas con familias de conjuntos:

1. \(B\cap\bigcup_{i\in I} A_i=\bigcup_{i\in I} (B\cap A_i)\),
2. \(B\cup\bigcap_{i\in I} A_i=\bigcap_{i\in I} (B\cup A_i)\).

Demostración

Sólo demostraremos la primera ley, ya que la segunda es similar.

\[\begin{align*} x\in B\cap\bigcup_{i\in I} A_i &\iff x\in B\land x\in\bigcup_{i\in I} A_i && \text{def de intersección}\\ &\iff x\in B\land \exists i\in I (x\in A_i) && \text{def de unión de una familia}\\ &\iff \exists i\in I (x\in B\land x\in A_i) && \text{conjunción con existencial}\\ &\iff \exists i\in I (x\in B\cap A_i) && \text{def de intersección}\\ &\iff x\in\bigcup_{i\in I} (B\cap A_i) && \text{def de unión de una familia}. \end{align*}\]

Otras propiedades que se conservan con familias de conjuntos son las leyes de De Morgan.

Proposición

Sean \(\{A_i\mid i\in I\}\) una familia de conjuntos y \(X\) un conjunto. Se satisfacen las leyes de De Morgan con familias de conjuntos:

1. \(X\setminus\bigcup_{i\in I} A_i=\bigcap_{i\in I} (X\setminus A_i)\),
2. \(X\setminus\bigcap_{i\in I} A_i=\bigcup_{i\in I} (X\setminus A_i)\).

Demostración

Sólo demostraremos la primera ley, ya que la segunda es similar.

\[\begin{align*} x\in X\setminus\bigcup_{i\in I} A_i &\iff x\in X\land x\notin\bigcup_{i\in I} A_i && \text{def de diferencia}\\ &\iff x\in X\land \neg\exists i\in I (x\in A_i) && \text{def de unión de una familia}\\ &\iff x\in X\land \forall i\in I (x\notin A_i) && \text{negación de existencial}\\ &\iff \forall i\in I (x\in X\land x\notin A_i) && \text{conjunción con universal}\\ &\iff \forall i\in I (x\in X\setminus A_i) && \text{def de diferencia}\\ &\iff x\in\bigcap_{i\in I} (X\setminus A_i) && \text{def de intersección de una familia}. \end{align*}\]

Algo que se pudo mostrar con la unión y la intersección binaria, pero que haremos hasta este momento con operaciones arbitrarias, es su comportamiento de supremo e ínfimo, respectivamente.

La relación de orden con la cual las operaciones serán supremo e ínfimo es la contención. De esta manera, una cota superior para una familia \(\{A_i\mid i\in I\}\) es un conjunto \(B\) tal que \(A_i\subseteq B\) para todo \(i\in I\). De manera similar, una cota inferior es un conjunto \(B\) tal que \(B\subseteq A_i\) para todo \(i\in I\).

Proposición

Sean \(\{A_i\mid i\in I\}\) una familia de conjuntos. La unión \(\bigcup_{i\in I} A_i\) es cota superior de la familia y la intersección \(\bigcap_{i\in I} A_i\) es cota inferior.

Demostración

Para demostrar que la unión es cota superior, tomamos un \(j\in I\) y veamos que \(A_j\subseteq\bigcup_{i\in I} A_i\). Si tomamos \(x\in A_j\), entonces existe \(i\in I\) tal que \(x\in A_i\) (el testigo de la existencia es \(j\)), por lo que \(x\in\bigcup_{i\in I} A_i\).
Para demostrar que la intersección es cota inferior, tomamos un \(j\in I\) y \(x\in\bigcap_{i\in I}A_i\). Entonces, para todo \(i\in I\) se tiene que \(x\in A_i\), en particular \(x\in A_j\).

Ahora, el supremo de la familia \(\{A_i\mid i\in I\}\) es la menor de las cotas superiores, es decir, una cota superior \(B\) es supremo si para cualquier otra cota superior \(C\) se satisface \(B\subseteq C\). De manera similar, el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores.

Proposición

Sean \(\{A_i\mid i\in I\}\) una familia de conjuntos. Entonces, el supremo de la familia es \(\bigcup_{i\in I} A_i\) y el ínfimo es \(\bigcap_{i\in I}A_i\).

Demostración

Ya sabemos que la unión es cota superior y la intersección es cota inferior, por lo que sólo falta ver que son las menores y mayores, respectivamente. Supongamos que \(B\) es una cota superior de la familia y veamos que \(\bigcup_{i\in I} A_i\subseteq B\).

\[\begin{align*} x\in\bigcup_{i\in I} A_i &\iff \exists i\in I (x\in A_i) && \text{def de unión}\\ &\implies x\in B && B \text{ es cota sup}. \end{align*}\]

Por lo tanto la unión es el supremo. De manera similar se demuestra que la intersección es el ínfimo.

Regresaremos a las propiedades de las familias de conjuntos en otras secciones. Por el momento terminaremos haciendo notar que la unión de la familia \(\{A_i\mid i\in I\}\) se puede denotar de dos formas equivalentes:

\[\bigcup_{i\in I} A_i = \bigcup\{A_i\mid i\in I\}.\]

De manera similar, la intersección de la familia se puede denotar como

\[\bigcap_{i\in I} A_i = \bigcap\{A_i\mid i\in I\}.\]

En ambos casos, la notación de la derecha sugiere que es posible considerar la unión o la intersección de un conjunto y el resultado será la unión o la intersección de sus elementos.

Definición

Sea \(A\) un conjunto. Definimos \(\bigcup A\) mediante \(x\in\bigcup A\) si y sólo si \(\exists a\in A (x\in a)\). Análogamente, definimos \(\bigcap A\) con la equivalencia \(x\in\bigcap A\) si y sólo si \(\forall a\in A (x\in a)\).

Con esta definición, podemos ver que \(\bigcup A=\bigcup\{a\mid a\in A\}\) y \(\bigcap A=\bigcap\{a\mid a\in A\}\).

Por ejemplo, si \(A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{2,4\}\}\), entonces \(\bigcup A=\{1,2,3,4\}\), mientras que \(\bigcap A=\{2\}\).