Familias de conjuntos
Introducción
Para dar l definición formal de una familia de conjuntos es necesario el concepto de función. Como, en principio, no hemos definido funciones, daremos una idea intuitiva de lo que es una familia de conjuntos y veremos algunas construcciones útiles con estas familias.
Por el momento la siguiente será nuestra “definición oficial”.
Definición
Sea \(I\) un conjunto. Una familia de conjuntos indexada por \(I\) es una colección de conjuntos \(\{A_i\mid i\in I\}\).
En la definición, \(I\) es el conjunto de índices de la familia. Además, aunque no pedimos ninguna condición sobre \(I\), casi siempre estaremos pensando en un conjunto no vacío.
Unión e intersección de familias de conjuntos
Definición
Dada una familia de conjuntos \(\{A_i\mid i\in I\}\), definimos la unión de la familia como el conjunto
\[\bigcup_{i\in I} A_i = \{x\mid \exists i\in I (x\in A_i)\}.\]Análogamente, definimos la intersección de la familia como el conjunto
\[\bigcap_{i\in I} A_i = \{x\mid \forall i\in I (x\in A_i)\}.\]
Si recordamos la relación entre operaciones de conjuntos y proposiciones lógicas que vimos en la sección de operaciones con conjuntos, podemos intentar hacer algo similar con las familias de conjuntos. En este caso, las propiedades de la unión de una familia de conjuntos serán las equivalencias e implicaciones lógicas con cuantificadores existenciales. Por otro lado, las propiedades de la intersección de una familia de conjuntos estarán relacionadas con cuantificadores universales.
Recordando que es posible considerar \(I=\emptyset\), entonces ¿qué son \(\bigcup_{i\in I}A_i\) y \(\bigcap_{i\in I}A_i\)?
Propiedades de la unión de familias de conjuntos
Para demostrar propiedades de unión e intersección de una familia de conjuntos necesitamos saber, con precisión, qué significa que un elemento esté en la unión o en la intersección. Si observamos las definiciones, podemos ver que \(x\in\bigcup_{i\in I} A_i\) si y sólo si \(\exists i\in I (x\in A_i)\), lo que es equivalente a decir “\(x\) está en la unión si y sólo si está en algún uniendo”. De manera similar, \(x\in \bigcap_{i\in I} A_i\) si y sólo si \(\forall i\in I (x\in A_i)\), lo que es equivalente a decir “\(x\) está en la intersección si y sólo si está en todos los conjuntos de la familia”.
Con esto en mente, podemos demostrar la siguiente propiedad.
Proposición
Sean \(\{A_i\mid i\in I\}\) y \(B\) conjuntos. Se satisfacen las leyes distributivas con familias de conjuntos:
- \(B\cap\bigcup_{i\in I} A_i=\bigcup_{i\in I} (B\cap A_i)\),
- \(B\cup\bigcap_{i\in I} A_i=\bigcap_{i\in I} (B\cup A_i)\).
Demostración
Sólo demostraremos la primera ley, ya que la segunda es similar.
\[\begin{align*} x\in B\cap\bigcup_{i\in I} A_i &\iff x\in B\land x\in\bigcup_{i\in I} A_i && \text{def de intersección}\\ &\iff x\in B\land \exists i\in I (x\in A_i) && \text{def de unión de una familia}\\ &\iff \exists i\in I (x\in B\land x\in A_i) && \text{conjunción con existencial}\\ &\iff \exists i\in I (x\in B\cap A_i) && \text{def de intersección}\\ &\iff x\in\bigcup_{i\in I} (B\cap A_i) && \text{def de unión de una familia}. \end{align*}\]
Otras propiedades que se conservan con familias de conjuntos son las leyes de De Morgan.
Proposición
Sean \(\{A_i\mid i\in I\}\) una familia de conjuntos y \(X\) un conjunto. Se satisfacen las leyes de De Morgan con familias de conjuntos:
- \(X\setminus\bigcup_{i\in I} A_i=\bigcap_{i\in I} (X\setminus A_i)\),
- \(X\setminus\bigcap_{i\in I} A_i=\bigcup_{i\in I} (X\setminus A_i)\).
Demostración
Sólo demostraremos la primera ley, ya que la segunda es similar.
\[\begin{align*} x\in X\setminus\bigcup_{i\in I} A_i &\iff x\in X\land x\notin\bigcup_{i\in I} A_i && \text{def de diferencia}\\ &\iff x\in X\land \neg\exists i\in I (x\in A_i) && \text{def de unión de una familia}\\ &\iff x\in X\land \forall i\in I (x\notin A_i) && \text{negación de existencial}\\ &\iff \forall i\in I (x\in X\land x\notin A_i) && \text{conjunción con universal}\\ &\iff \forall i\in I (x\in X\setminus A_i) && \text{def de diferencia}\\ &\iff x\in\bigcap_{i\in I} (X\setminus A_i) && \text{def de intersección de una familia}. \end{align*}\]
Regresaremos a las propiedades de las familias de conjuntos en otras secciones. Por el momento terminaremos haciendo notar que la unión de la familia \(\{A_i\mid i\in I\}\) se puede denotar de dos formas equivalentes:
\[\bigcup_{i\in I} A_i = \bigcup\{A_i\mid i\in I\}.\]De manera similar, la intersección de la familia se puede denotar como
\[\bigcap_{i\in I} A_i = \bigcap\{A_i\mid i\in I\}.\]En ambos casos, la notación de la derecha sugiere que es posible considerar la unión o la intersección de un conjunto y el resultado será la unión o la intersección de sus elementos.
Definición
Sea \(A\) un conjunto. Definimos \(\bigcup A\) mediante \(x\in\bigcup A\) si y sólo si \(\exists a\in A (x\in a)\). Análogamente, definimos \(\bigcap A\) con la equivalencia \(x\in\bigcap A\) si y sólo si \(\forall a\in A (x\in a)\).
Con esta definición, podemos ver que \(\bigcup A=\bigcup\{a\mid a\in A\}\) y \(\bigcap A=\bigcap\{a\mid a\in A\}\).
Por ejemplo, si \(A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{2,4\}\}\), entonces \(\bigcup A=\{1,2,3,4\}\), mientras que \(\bigcap A=\{2\}\).