Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Después de haber introducido el concepto de función, ahora las usaremos en casi todo lo que hagamos. Por ejemplo, más adelante las usaremos incluso para contar. Por esta razón veremos algunas propiedades especiales que podrían cumplir.

Funciones inyectivas

Definición

Una función \(f\colon A \to B\) se dice inyectiva si para cada par de elementos \(a_1, a_2 \in A\) se tiene

\[f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2.\]

La contrapuesta de la definición de función inyectiva dice que dos elementos distintos del dominio no pueden dar al mismo lugar en el codominio. Escrito de esta manera queda claro que para poder hacer una función inyectiva es necesario que el dominio sea “chico” comparado con el codominio. Por ejemplo, si \(A = \{1,2\}\) y \(B = \{a,b,c\}\), entonces \(f\colon A \to B\) definida como \(f(1) = a\) y \(f(2) = b\) es inyectiva. Por otro lado, si \(A = \{1,2,3\}\) y \(B = \{a,b\}\), entonces no es posible hacer una función inyectiva de \(A\) en \(B\).

Un ejemplo fácil de función inyectiva es la función identidad. Aunque no parece ser un ejemplo interesante hay situaciones en las que nos puede dar información de otras funciones.

Notemos que la definición de función inyectiva es una propiedad que permite eliminar a \(f\) por la izquierda en una igualdad. Esto sugiere que si \(f\) tuviera inversa entonces sería inyectiva.

Proposición

Si \(f\colon A \to B\) tiene una retracción (inversa izquierda), entonces es inyectiva.

Demostración

Supongamos que \(f\) tiene una retracción \(g\colon B \to A\), es decir, \(g\circ f = \text{id}_A\). Para ver que \(f\) es inyectiva supongamos que \(f(a_1) = f(a_2)\) para algunos \(a_1, a_2 \in A\). Entonces, aplicando \(g\) a ambos lados de la igualdad obtenemos \(g(f(a_1)) = g(f(a_2))\). Por definición de composición de funciones y el hecho que \(g\) es una retracción, obtenemos \(a_1 = a_2\).

Otra forma de enunciar la proposición es que si \(f\) es una sección, entonces es inyectiva. Esto deja una pregunta, ¿se vale el regreso? Esto es, si \(f\) es inyectiva, entonces ¿tiene una retracción?

Algo más que se puede decir acerca de funciones inyectivas es que si \(f\colon A \to B\) es inyectiva y \(b\in B\), entonces existe a lo más un \(a\in A\) tal que \(f(a) = b\). Notemos que es posible que, dado un \(b\in B\), no exista \(a\in A\) tal que \(f(a) = b\), como en el ejemplo que está después de la definición. Así, lo único que se afirma es que si \(a_1, a_2\in A\) son tales que \(f(a_1) = b\) y \(f(a_2) = b\), entonces \(a_1 = a_2\).

Además, también se vale el regreso de la afirmación del párrafo anterior, es decir, si \(f\colon A \to B\) es tal que para cada \(b\in B\) existe a lo más un \(a\in A\) tal que \(f(a) = b\), entonces \(f\) es inyectiva. En efecto, si \(f(a_1) = f(a_2)\), entonces \(a_1\) y \(a_2\) son dos elementos de \(A\) que van a dar al mismo \(b\in B\). Por lo que, por hipótesis, \(a_1 = a_2\).

Ahora, ¿cómo se comporta la inyectividad respecto a la composición?

Proposición

Si \(f\colon A \to B\) y \(g\colon B \to C\) son funciones inyectivas, entonces \(g\circ f\) es inyectiva.

Demostración

Sean \(a_1, a_2 \in A\) tales que \((g\circ f)(a_1) = (g\circ f)(a_2)\), es decir, \(g(f(a_1)) = g(f(a_2))\). Como \(g\) es inyectiva, entonces \(f(a_1) = f(a_2)\). Por la inyectividad de \(f\), obtenemos \(a_1 = a_2\).

De nuevo cabe preguntar si se vale el regreso de la proposición anterior.

Con la notación de la proposición, si suponemos que \(g\circ f\) es inyectiva y tratamos de mostrar que \(f\) es inyectiva, entonces debemos tomar \(a_1, a_2\in A\) y suponer que \(f(a_1) = f(a_2)\). Si aplicamos \(g\) a la igualdad, obtenemos \((g\circ f)(a_1) = (g\circ f)(a_2)\). Por hipótesis, esto implica que \(a_1 = a_2\). Por lo tanto, \(f\) es inyectiva. Pero notemos que si intentamos hacer lo mismo con \(g\), no hay forma de incluir a \(f\) en el lado correcto para poder usar la hipótesis. Así que sólo tenemos una parte del regreso.

Proposición

Sean \(f\colon A \to B\) y \(g\colon B \to C\) funciones. Si \(g\circ f\) es inyectiva, entonces \(f\) es inyectiva.

Para dar un ejemplo de que \(g\) no es inyectiva, en la proposición anterior, daremos un poco de notación y otro ejemplo de función inyectiva.

Denotemos por \(1\) al conjunto \(\{0\}\). Así, si \(A\ne\emptyset\) entonces toda función \(f\colon 1\to A\) es inyectiva. Notemos que en este caso el consecuente de la definición de función inyectiva se satisface trivialmente, ya que \(1\) sólo tiene un elemento. Por lo tanto, sin importar cómo esté definida \(f\), se tiene que \(f\) es inyectiva.

Ahora tomamos un caso particular, \(A=\{a,b,c\}\) y \(f\colon 1\to A\) dada por \(f(0)=a\). Luego consideramos \(B=\{x,y\}\) y \(g\colon A\to B\) definida como \(g(a)=x\), \(g(b)=y\) y \(g(c)=y\). Con esto tenemos que \(g\circ f\) es inyectiva, pues su dominio es \(1\), pero \(g\) no lo es ya que \(g(b)=g(c)\).

Una forma en la que podemos usar la proposición anterior es para hacer otra demostración de que si \(f\) tiene una retracción, entonces es inyectiva.

Corolario

Si \(f\colon A \to B\) tiene una retracción, entonces es inyectiva.

Demostración

Supongamos que \(f\) tiene una retracción \(g\colon B \to A\). Entonces, \(g\circ f = \text{id}_A\). Como \(\text{id}_A\) es inyectiva, por la proposición anterior, tenemos que \(f\) es inyectiva.

Funciones suprayectivas

Definición

Una función \(f\colon A \to B\) es suprayectiva si para cada \(b\in B\) existe \(a\in A\) tal que \(f(a) = b\).

Notemos que la definición de suprayectiva es equivalente a pedir \(\text{im}(f)=B\). De hecho, si \(f\colon A\to B\) es una función arbitraria, entonces \(f\colon A\to \text{im}(f)\) es suprayectiva.

En principio las definiciones de inyectiva y suprayectiva no parecen tener mucho en común. Sin embargo, son nociones “duales” (algo similar a la unión y la intersección). Por esta razón tendremos los mismos resultados que con funciones inyectivas, salvo alguna modificación menor debida a la dualidad.

Seguiremos el mismo guión que con las funciones inyectivas, pero no haremos todas las demostraciones.

Notemos que en la definición de función suprayectiva se tiene que cada elemento del codominio tiene asociado alguien, posiblemente muchos, en el dominio. Por lo que ahora es necesario que el codominio sea “chico” comparado con el dominio. En esta ocasión, si \(A = \{1,2\}\) y \(B = \{a,b,c\}\), entonces no es posible hacer una función supreyectiva de \(A\) en \(B\). Por otro lado, si \(A = \{1,2,3\}\) y \(B = \{a,b\}\), entonces \(f\colon A \to B\) definida como \(f(1) = a\), \(f(2) = b\) y \(f(3) = a\) es suprayectiva.

De nuevo, un ejemplo fácil de función suprayectiva es la función identidad.

En el caso de las funciones no es evidente su propiedad de ser eliminadas, como sí lo era en el caso de las funciones inyectivas. Sin embargo, sí tienen esa propiedad.

Proposición

Si \(f\colon A \to B\) tiene una sección (inversa derecha), entonces es suprayectiva.

Demostración

Supongamos que existe \(g\colon B \to A\) tal que \(f\circ g = \text{id}_B\). Para ver que \(f\) es suprayectiva, tomamos un \(b\in B\) y consideramos \(g(b)\in A\). Entonces, \(f(g(b)) = b\), por lo que \(f\) es suprayectiva.

Dejamos la pregunta análoga sin respuesta, ¿se vale el regreso?

En la parte de funciones inyectivas se mencionó que es equivalente que \(f\colon A \to B\) sea inyectiva a que para cada \(b\in B\) exista a lo más un \(a\in A\) tal que \(f(a) = b\). En el caso de las funciones suprayectivas, la definición tiene justamente esa forma. De hecho, estas formas son las que nos dejan ver un poco de la dualidad de estos conceptos. Parecen “opuestos” y juntos dan el “total”, en este caso “existe una única…”. (En realidad, el anterior es una forma de complementariedad, no tanto de dualidad.)

De la misma forma que las funciones inyectivas, las suprayectivas también se llevan bien con la composición.

Proposición

Si \(f\colon A \to B\) y \(g\colon B \to C\) son funciones suprayectivas, entonces \(g\circ f\) es suprayectiva.

De nuevo, el regreso se vale parcialmente.

Proposición

Sean \(f\colon A \to B\) y \(g\colon B \to C\) funciones. Si \(g\circ f\) es suprayectiva, entonces \(g\) es suprayectiva.

También es posible encontrar un ejemplo fácil de una composición \(g\circ f\) suprayectiva en la que \(f\) no lo sea.

Además usando que la identidad es suprayectiva se puede dar otra demostración de que si \(f\) tiene una sección, entonces es suprayectiva.

Funciones biyectivas

Definición

Una función \(f\colon A \to B\) es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Como las funciones biyectivas se definen mediante la conjunción de inyectiva y suprayectiva, entonces tendrán las propiedades que tengan ambas. Además, tendremos los dos resultados parciales de las funciones inyectivas y las suprayectivas unidos en una sola proposición.

Sea \(f\colon A\to B\) una función biyectiva. Como \(f\) es suprayectiva, entonces para cada \(b\in B\) existe \(a\in A\) tal que \(f(a) = b\). Luego, como \(f\) es inyectiva, el elemento \(a\) es único. Por lo tanto, para cada \(b\in B\) existe un único \(a\in A\) tal que \(f(a) = b\).

Por lo anterior, cada elemento \(b\in B\) tiene asociado un único \(a\in A\). Este elemento \(a\) obviamente está en función de \(b\), por lo que podemos definir una función \(g\colon B\to A\) que a cada \(b\in B\) le asocie el único \(a\in A\) tal que \(f(a) = b\).

Proposición

Con la notación de arriba, la función \(g\colon B\to A\) es la inversa de \(f\).

Por lo tanto, una función biyectiva tiene inversa. Si retomamos lo que hicimos con funciones inyectivas y suprayectivas, entonces obtenemos el siguiente resultado.

Proposición

Sea \(f\colon A \to B\). Entonces, \(f\) tiene una inversa si y sólo si es biyectiva.

Además, podemos seguir uniendo los resultados que ya tenemos.

Corolario

Si \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\) son funciones biyectivas, entonces \(g\circ f\) es biyectiva.

El regreso del corolario se vale parcialmente. Además, se puede escribir casi como el pegado de los regresos de las proposiciones correspondientes para funciones inyectivas y suprayectivas.

Corolario

Sean \(f\colon A \to B\) y \(g\colon B \to C\) funciones. Si \(g\circ f\) es biyectiva, entonces \(f\) es inyectiva y \(g\) es suprayectiva.

Como mencionamos que la función identidad son inyectivas y suprayectivas, entonces tenemos que es biyectiva.

Por último, combinemos algunos de los conceptos anteriores para obtener más funciones biyectivas.

Proposición

Sea \(f\colon A\to B\) una función.

1. Si \(f\) es inyectiva y tiene una sección, entonces es biyectiva.
2. Si \(f\) es suprayectiva y tiene una retracción, entonces es biyectiva.

Demostración

Sólo veremmos el primer punto, ya que el segundo es análogo (dual). Supongamos que \(f\) es inyectiva y tiene una sección \(g\colon B\to A\). Esto es, \(f\circ g = \text{id}_B\). Por una proposición anterior tenemos que como \(f\circ g\) es suprayectiva, entonces \(f\) es suprayectiva. Por lo tanto, es biyectiva.