Más acerca de funciones

Interpretación del concepto de función

Antes de empezar necesitamos introducir algo de notación que nos será útil en lo que sigue.

Usaremos a un conjunto con un elemento. Como no nos importa cuál sea ese elemento lo denotaremos por \(*\) y al conjunto que sólo tiene ese elemento lo denotamos \(1\). Esto es,

\[1=\{*\}.\]

Otro conjunto que nos será útil es el conjunto vacío, en la construcción de los números naturales que se hace en teoría de conjuntos, el conjunto vacío es el cero. Seguiremos esa convención y denotaremos al conjunto vacío por \(0\), o bien,

\[0=\emptyset.\]

Además de estos doc conjuntos finitos, otro conjunto finito que nos será de utilidad es el que tiene exactamente dos elementos. Para este caso denotaremos

\[2=\{0,1\}.\]

En esta sección estaremos interesados en conjuntos de funciones, así que necesitamos poner notación a dicho conjunto. Si \(A\) y \(B\) son conjuntos, entonces el conjunto de funciones de \(A\) en \(B\) se denota por \(B^A\). Es decir,

\[B^A=\{f\mid f\text{ es una función de }A\text{ en }B\}.\]

Funciones como figuras

Una función \(f\colon A\to B\) se puede pensar como un dibujo de forma \(A\) dentro de \(B\). De esta manera dando dominios adecuados obtendremos “figuras” que nos interesen en \(B\). Por ejemplo, si \(A=\{1,2,3\}\), entonces una función \(f\colon A\to B\) es una lista de tres elementos de \(B\), a saber \(f(1)\), \(f(2)\) y \(f(3)\). Así, una figura de forma \(\{1,2,3\}\) en \(B\) es una lista de tres elementos.

Una lista especial de elementos de \(B\) es la de un elemento. En este caso, es simplemente un elemento de \(B\). Así, una función \(f\colon 1\to B\) representa un elemento de \(B\). Viceversa, todo elemento de \(B\) esta representado por una figura de forma \(1\) en \(B\). Si tenemos \(b\in B\), entonces podemos definir la función \(f\colon 1\to B\) como \(f(*)=b\). Por lo tanto,

\[B^1 \cong B.\]

¿Puedes escribir explícitamente la biyección y mostrar que sí es una biyección?

De esta forma tenemos que se satisface una de las leyes de los exponentes en conjuntos y funciones. Otras leyes tienen que ver con el \(0\), por ejemplo ¿qué conjunto es \(B^0\), si \(B\ne\emptyset\)? ¿Qué conjunto es \(0^A\)? ¿Qué conjunto es \(0^0\)?

Regresando a la interpretación de \(B¹\) como elementos de \(B\), podemos “evaluar” funciones mediante composición, es decir, la composición

\[1\xrightarrow{b}B\xrightarrow{f}C\]

representa la evaluación \(f(b)\). Esto sugiere que es posible volver hacer lo que hemos hecho acerca de conjuntos y funciones sin la necesidad de hablar de elementos y evaluación.

Esta interpretación de función lleva al concepto de topos elemental el cual es un poco complejo de describir en este momento.

Funciones como propiedades

Cuando vimos particiones vimos que una función suprayectiva \(f\colon A\to B\) induce una partición en \(A\). Esta observación nos lleva a otra posible interpretación de funciones.

Consideremos una función \(f\colon A\to 2\) con \(A\ne\emptyset\), no tiene que ser una función suprayectiva. Con esta función podemos definir una propiedad de elementos de\(A\), digamos \(\varphi\). Esta propiedad es la siguiente: \(a\in A\) satisface \(\varphi\) si y sólo si \(f(a)=1\).

Si la función \(f\) del párrafo anterior fuera la constante \(1\), entonces todos los elementos de \(A\) satisfacen \(\varphi\). Si \(f\) fuera la constante \(0\), entonces ningún elemento de \(A\) satisface \(\varphi\). En otro caso hay algunos elementos de \(A\) que satisfacen \(\varphi\) y otros que no.

De esta manera, una función \(f\colon A\to 2\) induce una propiedad de elementos de \(A\). Por otro lado, una propiedad de elementos de \(A\) induce una función. En efecto, sea \(\varphi\) una propiedad de elementos de \(A\). Definimos la función \(f\colon A\to 2\) como \(f(a)=1\) si y sólo si \(a\) satisface \(\varphi\).

Podemos extender esta idea de dos formas. La primera es considerar funciones con codominio distinto de \(2\). Por ejemplo, una función \(f\colon A\to 3\), donde \(3=\{0,1,2\}\) induce una propiedad con tres valores de verdad. En general, \(f\colon A\to B\) induce una propiedad de elementos de \(A\) con \(B\) valores de verdad.

La otra dirección en la que se puede extender la idea es considerar funciones de la forma \(f\colon A\times A\to 2\). En este caso \(f\) está codificando una relación binaria sobre \(A\) (fórmula de primer orden con dos variables libres). Diremos que \(a\) está relacionado con \(b\) si y sólo si \(f(a,b)=1\).

Si combinamos las dos formas de extender tenemos que una función \(f\colon A_1\times\dots\times A_n\to B\) es una fórmula de \(n\) variables libres (de tipos \(A_1,\dots,A_n\), respectivamente) con valores en \(B\).

Esta interpretación de función nos permite capturar una lógica con tipos y eventualmente podemos llegar a la teoría de tipos, otra teoría que por el momento está fuera de nuestro alcance.

Monos epis e isos

En esta sección veremos, aunque sin ejemplos, algunos conceptos que permiten manipular funciones sin la necesidad de hablar de elementos o evaluar.

Monos

En la sección de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas vimos que una función inyectiva es aquella que se puede eliminar por la izquierda en igualdades, \(f(x)=f(y)\implies x=y\). En ese contexto \(x\) e \(y\) son elementos de un conjunto. En general, una función inyectiva es aquella que se puede eliminar por la izquierda en igualdades de funciones, es decir, si las composiciones tienen sentido, entonces \(f\circ g=f\circ h\implies g=h\).

Durante esta sección, y tal vez en las siguientes, usaremos la notación \(fg\) para denotar la composición \(f\circ g\), es decir, no escribiremos el símbolo \(\circ\) para denotar la composición de funciones. Esto es una convención que suele hacerse con otras operaciones, como en el producto, por ejemplo escribimos \(2x\) en lugar de \(2\cdot x\).

Definición

Una función \(f\colon A\to B\) es un monomorfismo o mono si para para cualesquiera funciones \(g,h\colon C\to A\) se tiene que \(f\circ g=f\circ h\).

Esta eliminación por la izquierda con funciones parece ser algo más fuerte que la eliminación con elementos. En efecto, si \(f\colon A\to B\) es un mono y tomamos \(a_1,a_2\in A\) tales que \(f(a_1)=f(a_2)\), entonces definimos las funciones

\[\begin{align*} & g\colon 1\to A, & h\colon 1\to A,\\ & g(*)=a_1, & h(*)=a_2. \end{align*}\]

Con esto tenemos que \(fg(*)=fh(*)\), es decir, \(fg=fh\). Como \(f\) es mono, entonces \(g=h\), es decir, \(a_1=a_2\).

Algo interesante que pasa en conjuntos es que si \(f\colon A\to B\) es inyectiva, entonces \(f\) es mono. En efecto, si consideramos \(g,h\colon C\to A\) tales que \(f\circ g=f\circ h\), entonces para todo \(c\in C\) se tiene que \(f(g(c))=f(h(c))\). Como \(f\) es inyectiva, entonces \(h(c)=g(c)\), es decir, \(g=h\). Por lo tanto, \(f\) es mono.

La equivalencia entre mono e inyectiva, que hemos justificado, es una equivalencia en conjuntos así que si se usa con otras estructuras matemáticas se debe mostrar que es cierta en ese contexto.

Epis

Ahora podemos ver en que sentido es que ser suprayectiva es el dual de ser inyectiva. Para lo cual haremos una generalización del concepto, como en el caso de los monos.

Definición

Una función \(f\colon A\to B\) es un epimorfismo o epi si para cualesquiera funciones \(g,h\colon B\to C\) se tiene que si \(g\circ f=h\circ f\) entonces \(g=h\).

Ahora es explicita la dualidad entre monos y epis. El ser mono es una propiedad de eliminación por la izquierda y ser epi es una propiedad de eliminación por la derecha.

Consideramos \(f\colon A\to B\) suprayectiva y veamos que \(f\) es epi. Supongamos que \(g,h\colon B\to C\) son tales que \(g\circ f=h\circ f\). Para mostrar que \(g=h\), consideramos \(b\in B\). Como \(f\) es suprayectiva, entonces existe \(a\in A\) tal que \(f(a)=b\). Por lo tanto, \(g(b)=g(f(a))=h(f(a))=h(b)\).

Ahora viene algo más difícil, mostrar que si \(f\colon A\to B\) es epi, entonces \(f\) es suprayectiva. (La dificultad radica en que dado un \(b\in B\) no tenemos forma de construir un \(a\in A\) tal que \(f(a)=b\). De esta manera, tenemos que usar alguna equivalencia lógica, que sea de lógica clásica.) Supongamos que \(f\) no es suprayectiva, entonces existe \(b\in B\) tal que para todo \(a\in A\) se satisface \(f(a)\ne b\). Definimos las funciones

\[\begin{align*} & g\colon B\to 2, & h\colon B\to 2,\\ & g(x)=\begin{cases}1 & \text{si }x=b\\ 0 & \text{en otro caso}\end{cases} & h(x)=0. \end{align*}\]

Claramente \(g\ne h\), pues \(g(b)=1\ne 0=h(b)\). Por otro lado, si tomamos \(a\in A\), entonces \(f(a)\ne b\), por lo tanto \(g(f(a))=0=h(f(a))\). Por lo tanto, \(g\circ f=h\circ f\), pero \(g\ne h\), es decir, \(f\) no es epi.

Con esto hemos mostrado que ser epi es equivalente a ser suprayectiva, en conjuntos y funciones. Sin embargo, esta equivalencia no es cierta en otros contextos. Por ejemplo, es espacios topológicos y funciones continuas, la inclusión \(i\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{R}\) es epi pero no es suprayectiva.

Isos

Finalmente, la generalización del concepto de función biyectiva.

Definición

Una función \(f\colon A\to B\) es un isomorfismo o iso si existe \(g\colon B\to A\) tal que \(fg=\text{id}_A\) y \(gf=\text{id}_B\).

Ya vimos anteriormente que iso es equivalente a ser biyectiva. Además, con lo anterior podemos concluir que si una función es mono y epi entonces es iso. De nuevo, aquí hay que advertir que estas conclusiones usan mucho del comportamiento de conjuntos y funciones. Por ejemplo, en espacios topológicos es posible construir espacios de tal forma que la función identidad no sea un iso.




to be continued…