Límites y colímites

Límites

Empezaremos viendo algunos tipos de límite y como se ven en categorías conocidas.

Objeto terminal

Definición

Un objeto \(1\) en una categoría \(\mathcal{C}\) es terminal si para cualquier \(C\in\mathsf{C}\) existe una única flecha \(C\to 1\).

Si interpretamos la definición en una categoría generada por un orden parcial \(\langle P,\leq\rangle\), entonces un objeto terminal es un elemento \(1\in P\) tal que para cualquier \(x\in P\) se tiene que \(x\leq 1\), es decir, \(1\) es máximo.

Ahora, consideramos la categoría de conjuntos y veamos qué debe satisfacer un conjunto para ser terminal. La condición de que para cualquier conjunto \(X\) existe una única función \(X\to 1\) implica que \(1\) debe tener solo un elemento. Si fuera el vacío, entonces no habría ninguna función de un conjunto no vacío al vacío. Si tuviera más de un elemento, entonces habría más de una función de un conjunto no vacío a \(1\). Así, un objeto terminal en \(\mathsf{Con}\) es de la forma \(1=\{*\}\).

Si \(k\) es un campo, entonces el espacio vectorial trivial, \(\{0\}\), es un objeto terminal en la categoría de espacios vectoriales sobre \(k\). En efecto, si \(V\) es un espacio vectorial sobre \(k\), entonces la única función lineal \(T\colon V\to\{0\}\) es la constante \(0\).

Algo fácil de ver es que el objeto terminal es único salvo isomorfismo. Sin embargo, no daremos la demostración ya que veremos la unicidad en el contexto general de límites.

Productos

Definición

Sean \(A,B\in\mathsf{C}\). Un producto de \(A\) y \(B\) es un objeto \(A\times B\in\mathsf{C}\) junto con dos flechas \(\pi_1\colon A\times B\to A\) y \(\pi_2\colon A\times B\to B\) tales que para cualquier objeto \(C\in\mathsf{C}\) y flechas \(f\colon C\to A\) y \(g\colon C\to B\) existe una única flecha \(h\colon C\to A\times B\) tal que el siguiente diagrama conmuta:

La única \(h\) que hace conmutar el diagrama suele denotarse con \((f,g)\).

En una categoría generada por un orden parcial \(\langle P,\leq\rangle\), el renglón de arriba del diagrama de producto dice que \(A\times B\) debe ser una cota inferior de \(A\) y \(B\), mientras que la parte de abajo dice que para cualquier otra cota inferior \(C\) de \(A\) y \(B\), se tiene que \(C\leq A\times B\), es decir, \(A\times B\) es el ínfimo de \(A\) y \(B\).

En la categoría de conjuntos, el producto de dos conjuntos \(A\) y \(B\) es el producto cartesiano \(A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}\). Las proyecciones son las funciones \(\pi_1\colon A\times B\to A\) y \(\pi_2\colon A\times B\to B\) dadas por \(\pi_1(a,b)=a\) y \(\pi_2(a,b)=b\). Dado un conjunto \(C\) y funciones \(f\colon C\to A\) y \(g\colon C\to B\), la función \((f,g)\colon C\to A\times B\) está dada por \((f,g)(c)=(f(c),g(c))\).