Conjuntos

El concepto de conjunto

Un conjunto es una colección de objetos. Estos objetos pueden ser números, letras, palabras, o incluso otros conjuntos. La colección se denota con una letra mayúscula, por ejemplo \(A\), y los objetos que la conforman se escriben entre llaves, por ejemplo \(A=\{1,2,3\}\). Si un objeto \(x\) pertenece a un conjunto \(A\), se escribe \(x\in A\), y si no pertenece, se escribe \(x\notin A\).

No todos los conjuntos pueden ser descritos de manera explícita, como el conjunto \(A\) del párrafo anterior. Por ejemplo, el conjunto de los números pares o el de los puntos del plano que están a distancia uno del origen. En ese sentido nos gustaría que un conjunto estuviera determinado por una propiedad. Por ejemplo, la propiedad que defina al conjunto \(A\) del párrafo anterior es “ser uno, dos o tres”. Así, otra forma de escribir a ese conjunto es:

\[A = \{x\mid x\text{ es uno, dos o tres}\}.\]

En el ejemplo de los puntos en el plano, la propiedad de estar a diatancia uno del origen se puede expresar como:

\[C = \{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}.\]

Con esta forma de escribir conjuntos podemos decir cuando un objeto pertenece a un conjunto sin tener que enumerar todos los elementos. Por ejemplo, si \(B=\{x\mid\varphi(x)\}\), donde \(\varphi(x)\) es una propiedad que podría satisfacer \(x\) o no, entonces \(x\in B\) si y sólo si \(\varphi(x)\) es válida. Por ejemplo, \(1\in A\) porque \(1\) es uno, dos o tres, y \((0,1)\in C\) porque \(0^2+1^2=1\). También podemos notar que \(4\notin A\) o que \((1,1)\notin C\), pues no se satisface la propiedad que define a \(A\) o a \(C\), respectivamente.

Esta forma de definir conjuntos es conveniente ya que nos permite combinar conjuntos en términos de sus propiedades y aplicación de conectivos y cuantificadores lógicos. Sin embargo, tiene un defecto: esta definición nos lleva a una contradicción. Consideramos el conjunto

\[R = \{x\mid x\notin x\}\]

y nos preguntamos si \(R\in R\). Si \(R\in R\), entonces por la definición de \(R\) tenemos que \(R\notin R\) y si \(R\notin R\), entonces por la definición de \(R\) tenemos que \(R\in R\). Esto es

\[R\in R\iff R\notin R,\]

lo cual es una contradicción. Esta es la famosa paradoja de Russell.

Para evitar este tipo de paradojas, se restringe la forma en que se pueden obtener conjuntos mediante propiedades. En teoría de conjuntos la solución es lo que se llama axioma de separación. Este axioma dice que si \(A\) es un conjunto y \(\varphi(x)\) es una propiedad, entonces el conjunto de elementos de \(A\) que satisfacen \(\varphi(x)\) es un conjunto, en símbolos

\[\{x\in A\mid\varphi(x)\}.\]

Más aún, no se define qué es un conjunto, sino que se dice cómo se comportan mediante axiomas conocidos como axiomas de Zermelo-Fraenkel o ZFC. Además del axioma de separación, que evita la existencia de conjuntos paradójicos como \(R\), otro axioma que nos interesa es el de extensionalidad. Este axioma dice que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Así, si queremos demostrar que dos conjuntos \(X\) y \(Y\) son iguales, debemos mostrar que si \(x\in X\) entonces \(x\in Y\) y viceversa. Notemos que la igualdad está compuesta por dos implicaciones. Si dividimos las dos implicaciones obtenemos la definición de contención de conjuntos.

Definición

Si \(A\) y \(B\) son conjuntos, decimos que \(A\) está contenido en \(B\), y se escribe \(A\subseteq B\), si todo elemento de \(A\) es elemento de \(B\). Es decir, \(A\subseteq B\) si y sólo si \(x\in A\Rightarrow x\in B\).

Una forma de escribir al axioma de extensionalidad es

\[X = Y\iff X\subseteq Y\text{ y }Y\subseteq X.\]

Una práctica común es decir que una igualdad de conjuntos se demuestra con doble contención en lugar de decir que se demuestra con el axioma de extensionalidad. Algunos ejemplos del uso de extensionalidad o doble contención, que tienen algo de contenido, se obtienen usando operaciones con conjuntos.

Algunos ejemplos de contención de conjuntos son: \(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\) o \(2\mathbb{N}\subseteq\mathbb{N}\), donde \(2\mathbb{N}\) es el conjunto de números naturales pares, es decir,

\[2\mathbb{N} = \{n\in\mathbb{N}\mid \exists m\in\mathbb{N}(n=2m)\}.\]

En términos de propiedades, la contención se puede expresar como una implicación. Esto es, si \(A=\{x\mid\varphi(x)\}\) y \(B=\{x\mid\psi(x)\}\), entonces \(A\subseteq B\) si y sólo si \(\varphi(a)\implies\psi(a)\), para toda \(a\in A\). De la misma manera se tiene que \(A=B\) si y sólo si \(\varphi(a)\iff\psi(a)\), para toda \(a\in A\).

Finalmente, un tercer axioma de la teoría de conjuntos que nos es útil en este momento es el de existencia. Este axioma dice que existe un conjunto vacío, es decir, un conjunto que no tiene elementos.

La primera propiedad que se debe mostrar acerca del conjunto vacío es que es único. Esto es, si \(X\) y \(Y\) son conjuntos que no tienen elementos, entonces \(X=Y\). ¿Cómo se demuestra esta propiedad?

Una vez que se demuestra que el conjunto vacío es único, se puede dar notación especial para este conjunto. El conjunto vacío se denota con \(\emptyset\).

Por último, otra propiedad del conjunto vacío es que es subconjunto de cualquier conjunto.